Question

用定义计算定积分的基本步骤是什么？

Answer 1

∫(a,b) (x^2+1)dx
=lim(n->∞) [(b-a)/n]*∑(k=1->n) {[a+k(b-a)/n]^2+1}
=lim(n->∞) [(b-a)/n]*∑(k=1->n) {a^2+1+[2a(b-a)/n]*k+[(b-a)^2/n^2]*k^2}
=lim(n->∞) [(b-a)/n]*{(a^2+1)n+[2a(b-a)/n]*(1+n)n/2+[(b-a)^2/n^2]*n(n+1)(2n+1)/6}
=lim(n->∞) (b-a)*{a^2+1+a(b-a)(n+1)/n+(b-a)^2*(n+1)(2n+1)/6n^2}
=(b-a)*[a^2+1+ab-a^2+(b^2-2ab+a^2)/3]
=(b-a)*(a^2+b^2+ab+3)/3
=(b^3-a^3)/3+(b-a)