Question

如何用夹逼准则证 （1+2^n+3^n）^1/n 的极限为3

Answer 1

证明：

因为3^n＜1+2^n+3^n＜3*3^n=3^(n+1)，

那么(3^n)^(1/n)＜(1+2^n+3^n)^(1/n)＜(3^(n+1))^(1/n)，

即3＜(1+2^n+3^n)^(1/n)＜3^((n+1)/n)。

又因为lim(x→∞)3^((n+1)/n)=3^1=3。

即当n→∞时，3＜lim(x→∞)(1+2^n+3^n)^(1/n)＜3

那么根据夹逼定理可得，lim(x→∞)(1+2^n+3^n)^(1/n)=3。

扩展资料：

夹逼定理的应用

1、设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a。若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a。

2、夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。

不等式的证明方法

1、综合法

由因导果。证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式. 合法又叫顺推证法或因导果法。

2、分析法

执果索因。证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件. 由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。

3、放缩法

将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的，已知A<C，要证A<B，则只要证C<B. 若C<B成立，即证得A<B. 也可采用把B缩小的方法，若已知C<B，则只要证A<C。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

你好~~
当n→+∞时
(1+2^n+3^n)^1/n>(3^n)^1/n=3
(1+2^n+3^n)^1/n<(3^n+3^n)^1/n=[2•(3^n)]^1/n=[2^1/n]•(3^n)^1/n=3
∴(1+2^n+3^n)^1/n的极限是3

不明白的欢迎追问

Answer 4

如何用夹逼准则证 （1+2^n+3^n）^1/n 的极限为3
　高等数学内容： 　　【夹逼定理在数列中的运用】 　　设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a. 　　若存在N，使得当n>N时，都有limXn≤limYn≤limZn,则数列{Yn}收敛，且极限为a.