Question

设函数y=f(x)的定义域为（0，+无穷)且任意正实数x,y均有f(xy)=f(x)+f(y)成立，已知f(2)=1且当x>1时f(x)>o

1.求f(1/2)的值
2.试判断y=f(x)在（0，+无穷)上单调性
写过程

Answer 1

你好~
（1）令x=y=1
那么f(1)=f(1)+f(1)
∴f(1)=0
再令x=2,y=1/2
∴f(1)=f(2)+f(1/2)
∴0=1+f(1/2)
∴f(1/2)=-1
（2）令x2>x1>0,则x2/x1>1
∴f(x2/x1)＞o
∴f(x2)=f(x1*x2/x1)=f(x1)+f(x2/x1)>f(x1)
故函数f(x)在(0,+∞)内单调递增。

我勒个去，我看没人答，那个时候又赶时间下线，没刷新，结果在你后面两分钟答了。没发现，真不好意思

Answer 2

你好！

(1)令y=1得f(x)=f(x)+f(1) ∴f(1)=0
f(1)=f(2×1/2)=f(2)+f(1/2) =0
f(2)=1 ∴f(1/2)= -1

(2)设0<a<b
f(b) - f(a) = f(b/a *a) - f(a)
=f(b/a) +f(a) -f(a) =f(b/a)
0<a<b ∴b/a>1 f(b/a) >0
即f(b) - f(a)>0 f(b)>f(a)
∴f(x)在(0,正无穷)单调递增