Question

已知函数f(x)的定义域为(0,正无穷),对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)>0,f(4)=1.(1)求证(

已知函数f(x)的定义域为(0,正无穷)，对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时，f(x)>0,f(4)=1.(1)求证：f(1)=0;(2)求f(1/16);(3)解不等式f(x)+f(x+3)<=1.

Answer 1

f(xy)=f(x)+f(y)...............................................................(*)
(1) 在(*)式中另x=y=1 得 f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)=2f(1). 由此得f(1)=0
(2) 在(*)式中去y=1/x 则由 0=f(1)=(x*1/x)=f(x)+f(1/x) 可得 f(1/x)=-f(x)
于是 f(1/16)=-f(16)=-f(4*4)=-[f(4)+f(4)]=-2
(3) 先来证明 f(x)是单调递增的
设 x2>x1>0, 则 x2/x1>1, 因此 f(x2/x1)>0, 而 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(1/x1)=f(x2/x1)>0
这就证明了f(x) 是单调递增的
由于 f(4)=1 ，所以 f(x)+f(x+3)<=1 当且仅当 f(x)+f(x+3)<=f(4)
即 f[x(x+3)]<=f(4) 由f单调递增，只要解 x(x+3)<=4
x^2+3x-4<=0,
(x+4)(x-1)<=0
因此解为 -4<=x<=1
又f(x) 的定义为 x>0 综合起来 不等式的解为 0<x<=1

Answer 2

（1）令x=y=1 则f(1*1)=f(1)+f(1)
则有f(1)=0
(2) 令x=4 y=1/4
则f(4*1/4)=f(4)+f(1/4)
f(1)=f(4)+f(1/4) (f(4)=1)
则f(1/4)=-1
令x=y=1/4 则f（1/4*1/4）=f(1/16)=2f(1/4)=-2
(3)f(x*(x+3))=f(x)+f(x+3)
x>0 x+3>3
x*(x+3)>0
则有f(x*(x+3))<=1=f(4)
下面证明当x>0时，f(x)是增函数
令y=4 则f(4x)=f(x)+f(4)=f(x)+1
从而f(4x)>f(x)
则有f(x)是增函数。
所以x*(x+3)<=4
x^2+3x-4)<=0
(x+4)(x-1)<=0
解得 0<x<=1

Answer 3

解：(1).证明：
令x=y=1有：
f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=0
(2).f(16)=f(4*4)=f(4)+f(4)=2
f(1/16)=-f(16)=-2
(3).∵f(xy)=f(x)+f(y)
令x=x/y得：
f(x)=f(x/y)+f(y)
推出于：
f(x/y)=f(x)-f(y)
任取0<x1<x2,
则:f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)
又：x>1时f(x)>0且x2/x1>1
∴f(x2)-f(x1)>0
∴f(x)在(0,正无穷)上递增
∴不等式f(x)+f(x+3)<=1等价于：
f(x²+3x)<=f(4)和x>0,x+3>0
即：x²+3x<=4和x>0,x+3>0
解得：x∈(0,1]

Answer 4

（1）f(xy)=f(x)+f(y)取x=y=1可得f（1）=f（1）+f（1）故f（1）=0
（2）f(xy)=f(x)+f(y)取y=1/x可得f（1）=f(x)+f(1/x)=0故f(x)=-f(1/x)因为f(4)=1故f(1/4)=-1取x=y=1/4可得f(1/16)=f(1/4)+f(1/4)=-2
第三问得靠其他大神了！

Answer 5

1.令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0
令y=1/x，那么f(1)=f(x)+f(1/x),所以f(1/x)=-f(x)
2.设x1>x2>0，则x1/x2
>
1，那么f(x1/x2)<0
而f(x1/x2)=f(x1)+f(1/x2)=f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2)
所以是减函数
3.由1知，f(2)=-f(1/2)=-1
化为f(5-x)>=-1=f(2)
因为是减函数，所以5-x<=2
所以x>=3
不懂联系我～