Question

已知函数f(x)=log2(ax2+ax+1) （1）若定义域是R，求a的取值范围 （2）若值域是R，求a的取值范围

已知函数f(x)=log2(ax2+ax+1) （1）若定义域是R，求a的取值范围 （2）若值域是R，求a的取值范围
若函数F(X)对任意X属于R都有F(X)=-F(2-X),且最小正周期为3,则F(X)的图像关于点(-1/2,0)对称。怎么判断对不对？

Answer 1

解：
（1）：∵定义域是R；
则对于ax²+ax+1＞0（x∈R）恒成立；
当a=0时，1＞0恒成立，满足题意；
当a≠0时，则必须满足a＞0且△=a²-4a＜0，即0＜a＜4；
综上所述：0≤a＜4，即a的取值范围：a∈[0，4）
（2）：∵值域是R，则对于ax²+ax+1而言，其值域要取到所有的正数；
当a=0时，ax²+ax+1=1，值域只有1，则不满足题意；
当a≠0时，要使ax²+ax+1取到所有正数，则必须满足a＞0且△=a²-4a≥0，即a≥4；
综上所述：a≥4，即a的取值范围：a∈[4，+∞）。

追问

若函数F(X)对任意X属于R都有F(X)=-F(2-X),且最小正周期为3,则F(X)的图像关于点(-1/2,0)对称。怎么判断对不对？

Answer 2

1)a=0显然符合,
若a>0. g(x)=ax2+ax+1
delta=a^2-4a<0---> 0<a<4
a<0显然不符
因此有：0=<a<4
2) g(x)的值域需能包括所有正数，因此a>0
且最小值不大于0，gmin=g(-1/2)=-a/4+1<=0
解得a>=4

追问

若函数F(X)对任意X属于R都有F(X)=-F(2-X),且最小正周期为3,则F(X)的图像关于点(-1/2,0)对称。怎么判断对不对？

追答

因为f(-1/2+x)=f(-1/2+x+3)=f(x+2.5)=-f[2-(x+2.5)]=-f(-1/2-x)
因此函数关于(-1/2,0)中心对称。判断是对的。
另外，提醒一下，按百度规则，请采纳后再追问别的题。

Answer 3

（1）因为当x∈R时,ax2+ax+1恒为正数，所以a>0且Δ=a2-4a<0,所以0<a<4
(2)此时对定义域可作限制，但一定保证ax2+ax+1可以取得所有正数。
令g(x)=ax2+ax+1,若函数图像与x轴无交点，则在最低点以下的正值不能取得；所以函数图像与x轴要有交点，Δ=a2-4a≥0,.,且开口向上，a>0。 所以a≥4

追问

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