Question

如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,D为斜边BC的中点,DE⊥DF。求证EF²=BE²+CF²

Answer 1

：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，如下图所示：
∵DF=DF，∠EDF=∠FDG=90°，DG=DE
∴△EDF≌△GDF
∴EF=FG
又∵D为斜边BC中点
∴BD=DC
又∵∠BDE=∠CDG，DE=DG
∴△BDE≌△CDG
∴BE=CG，∠B=∠BCG
∴AB∥CG
∴∠GCA=180°-∠A=180°-90°=90°
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG2=CF2+CG2=CF2+BE2
∴EF2=FG2=BE2+CF2．

Answer 2

证明：在ed的延长线上取点g，使de＝dg，连接fg
∵∠a＝90
∴∠abc+∠acb＝90
∵d是bc的中点
∴bd＝cd
∵de＝dg，∠bde＝∠cdg
∴△bde≌△cdg
（sas）
∴cg＝be,
∠dcg＝∠abc
∴∠acg＝∠dcg+∠acb＝∠abc+∠acb＝90
∴fg²＝cg²+cf²＝be²+cf²
∵de⊥df，de＝dg
∴df垂直平分eg
∴ef＝fg
∴ef²＝be²+cf²