Question

在正方形ABCD-A'B'C'D'中，E,F分别是BB',CD的中点，求证：D'F垂直平面ADE

Answer 1

证明：取AB中点设为P，连接A'P交AE于点Q；所以A'P平行于D'F;

因为AB=BB',AP=BE;所以Rt三角形A'AP全等于三角形ABE；所以角AA'P=角BAE；

所以角AQP=角APQ+BAE=角APQ+角AA'P=90度；

所以AE垂直于A'P；

D'F垂直平面ADE

Answer 2

建立立体坐标：以DA为X轴，以DC为Y轴，以DD‘为Z轴。则可知A点坐标为（2.0.0），E点坐标为（2.2.1），D点坐标为（0.0.0），F点坐标为（0.1.0），D’点坐标为（0.0.2）。所以D‘F坐标为（0.1.-2），DE坐标为（2.2.1），AE坐标为（0.2.1）。综上所述得：D’F*AE=0*0+1*2+（-2）*1=0,，所以D‘F与AE垂直，同理可证D’F与DE垂直，又因为AE交DE于E点，有线面垂直定理得D‘F垂直于面ADE

*代表乘以，括号中的三个数字是该点分别在X，Y，Z轴上面的坐标，而两个点组成的线的坐标就用后面点的坐标减去前面点的坐标就可以求出。“综上所述得”后面的事立体几何方面的一种证明方法，叫做向量法：两条线段的坐标的乘机之和等于0，则这两条线段垂直。

这种方法步骤较复杂，但思路清晰，计算简便。希望对你有所帮助……