Question

设函数f(x)定义在R上，对于任意实数m,n，总有f(m+n)=f(m)f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1，

求证：x<0时，f(x)>1
过程 速度 谢谢！

Answer 1

1.令m=n=0则 有f(0)=f(0+0)=f(0)*f(0)
得f(0)=1或f(0)=0
当f(0)=0时，对任意实数m则有f(m)=f(m+0)=f(0)*f(m)=0*f(m)=0
与R上非零函数矛盾，所以f(0)=1
2.
设x<0 则-x>0，
f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)=1
所以f(x)=1/f(-x)
又0<f(-x)<1，
所以f(x)>1（x<0）
综合上述，f(x)>0
3.f(x)单调递减
设x1<x2，则x2-x1>0
f(x2)-f(x1)
=f(x1+x2-x1)-f(x1)
=f(x2-x1)*f(x1)-f(x1)
=f(x1)(f(x2-x1)-1)
又由2知 0<f(x2-x1)<1，f(x1)>0
所以f(x2-x1)-1<0
所以f(x2)-f(x1)<0
即f(x2)<f(x1)
所以f(x)单调递减

Answer 2

令m=n=0
f(o)=f(0)*f(0)
f(0)=1或0
令n=0 m>0则f(m)=f(m)*f(0)不等于0
所以f(0)=1令m=-n m<0
f(0)=f(m)*f(-m) f(m)=1/f(-m)>1衡成立
则x<0时f(x)>1