Question

正多边形的所有公式

Answer 1

有。
设正n边形的面积为s，
则，s=(1/2)nr^2*sinα=nr^2tan（α/2)
式中，n--边数，r--三角形的外接圆的半径，r--三角形的内切圆的半径，α--一边所对的圆心角（以度计）
证明也很简单。
正n边形可分割成n割等腰三角形，按上述参数计数三角形的面积加起来就是正n边形的面积，当然有点技巧。
现证明如下。
(1)设正n边形的边长为ab,o为三角形外接圆心(内切圆与之同心）,
连接oa、ob,得一三角形aob，其面积为：s'aob
则，s'△aob=(1/2)*ab*rcos(α/2)
且，ab/2=rsin(α/2),即ab=2rsin(α/2)
故，s'△aob=(1/2)*2r^2sin(α/2)cos(α/2)
s'△aob=(1/2)r^2sinα
正n边形的面积s=n*s△aob
故，s=(1/2)nr^2sinα
（2）再证以内切圆半径r和圆心角α表示的正多边形的面积s
证：因r是圆o的外切正多边形的边心距，也是△aob的ab上的高（r)
s''△aob=(1/2)*ab*r
此时，ab/2=rtan(α/2),故ab=2rtan(α/2)
s''△aob=(1/2)*2r^2tan(α/2)=r^2*tan(α/2)
故，正n边形的面积s=n*s''△aob=nr^2*tan(α/2)
---全部证毕。

Answer 2

正n边形的内角和度数为：（n－2)×180°;
正n边形的一个内角是(n-2)×180°÷n. 正n边形外角和等于n·180°－(n－2)·180°=360°
所以正n边形的一个外角为：360°÷n.
所以正n边形的一个内角也可以用这个公式：180°-360°÷n. 任何一个正多边形，都可作一个外接圆，多边形的中心就是所作外接圆的圆心，所以每条边的中心角，实际上就是这条边所对的弧的圆心角，因此这个角就是360度÷边数。
正多边形中心角：360°÷n
因此可证明，正n边形中，外角=中心角=360°÷n 在一个正多边形中，所有的顶点可以与除了他相邻的两个顶点的其他顶点连线，就成了顶点数减e799bee5baa6e59b9ee7ad94313333613030322（2是那两个相邻的点）个三角形。三角形内角和：180度，所以把边数减2乘上180度，就是这个正多边形的内角和。

Answer 3

正N边形的外角和为360度。正N边形的每个内角度数为：R=180—（360/N），其中N为整数。

Answer 4

设正n边形的面积为s，
则，s=(1/2)nr^2*sinα=nr^2tan（α/2)
式中，n--边数，r--三角形的外接圆的半径，r--三角形的内切圆的半径，α--一边所对的圆心角（以度计）

假设边长是x
1.把正n边形先分成n个三角形
2.每个小三角形对应的圆心角是2π/n
所以三角形的高就是(x/2)/tan(π/n)
三角形面积是1/2*x*(x/2)/tan(π/n)=x²/[4tan(π/n)]
从而正n边形面积是S=nx²/[4tan(π/n)]

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多边形
正多边形的有关计算
VIP专享文档 2016-03-05 5页 用App免费查看
正多边形的有关计算

【基础知识精讲】

一、定理: 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

正多边形有关计算
(1)正n边形角的计算公式：①每个内角等于(n为大于或等于3的整数)；②每个外角＝每个中心角＝.