Question

一个三角形两底角角平分线相等。证明三角形为等腰三角形。

Answer 1

这是著名的斯坦纳--莱默斯定理
两种证法.
己知
在△ABC中，BE,CF是∠B，∠C的平分线，BE=CF。求证:AB=AC.
证法一
设AB≠AC,不妨设AB>AC，这样∠ACB>∠ABC，从而∠BCF=∠FCE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠CBE=∠EBF。
在△BCF和△CBE中，因为BC=BC,
BE=CF，∠BCF>∠CBE.
所以
BF>CE。
(1)
作平行四边形BEGF，则∠EBF=∠FGC,EG=BF,FG=BE=CF，连CG，
故△FCG为等腰三角形，所以∠FCG=∠FGC。
因为∠FCE>∠FGE，所以∠ECG<∠EGC。
故得
CE>EG=BF.
(2)
显然(1)与(2)是矛盾的，故假设AB≠AC不成立，于是必有AB=AC。
证法二
在△ABC中，假设∠B≥∠C，则可在CF上取一点F'，使∠F'BE=∠ECF'，这有CF≥CF'。
延长BF'交AC于A',则由∠BA'E=∠CA'F',有ΔA'BE∽ΔA'CF'.
从而A'B/A'C=BE/CF'≥BE/CF=1.
那么在△A'BC中，由A'B≥A'C，得:
∠A'CB≥∠A'BC，即∠C≥(∠B+∠C)/2，故∠B≤∠C。
再由假设∠B≥∠C，即有∠B=∠C。
所以△ABC为等腰三角形。