Question

已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是公比为q的等比数列，且a1=b1=3，a3=b2-2，S4=b3-3．

Answer 1

（1）由a1=b1=3，知a3=3+2d，b2=3q，
S4＝
(3+3+3d)×4
2
=12+6d，b3＝3q2，
从而可得
3+2d＝3q?2
12+6d＝3q2?3
，即
2d＝3q?5
6d＝3q2?15
，
解得q=3，d=2，
从而有an=3+（n-1）×2=2n+1，bn＝3×3n?1＝3n．
（2）由（1）可知cn=anbn=（2n+1）×3n，
∴Tn=c1+c2+…+cn=3×3+5×32+7×33+…+（2n+1）×3n，
则3Tn=3×32+5×33+7×34+…+（2n-1）×3n+（2n+1）×3n+1，
两式相减得-2Tn=3×3+2×32+2×33+…+2×3n-（2n+1）×3n+1
=3×3+2×32（1+3+32+33+…+3n-2）-（2n+1）×3n+1
=9+18×
3n?1?1
2
-（2n+1）×3n+1，
∴Tn＝n×3n+1．

Answer 2

要求证等差数列，只要bn-b（n-1）=一个定值就可以了。那么把an代入：差=3an+4b-3a（n-1）-4b=3（an-a（n-1））=3d，因为d是定值，所以bn就是等差数列了。