Question

设α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.证明α1，α1+α2，α1+α2+α3也是Ax=0的基础解系

Answer 1

只需证明，向量组α1，α2，α3
与α1，α1+α2，α1+α2+α3是等价的，都是自身的极大无关组（即向量组中向量线性无关
，或者证明秩相等，都是3）即可
方法：
(α1，α1+α2，α1+α2+α3)=
(α1，α2，α3)*
1
1
1
0
1
1
0
0
1
=(α1，α2，α3)P
显然矩阵P是可逆矩阵，因此不改变原向量组的秩，因此向量组(α1，α1+α2，α1+α2+α3)
与(α1，α2，α3)秩相等，且可以相互线性表示（是等价的）

Answer 2

证明:
(α1,α1+α2,α2+α3)=(α1,α2,α3)p
p
=
1
1
0
0
1
1
0
0
1
因为
|p|=1≠0,
所以p可逆.
所以
α1,α2,α3
与
α1,α1+α2,α2+α3
等价.
所以
r(α1,α1+α2,α2+α3)
=
r(α1,α2,α3)
=
3.
且
ax=0
的解可由
α1,α1+α2,α2+α3
线性表示.
故
α1,α1+α2,α2+α3
是ax=0
的基础解系.