Question

对于某一可对角化的矩阵来说,如何选取变换矩阵P和对角阵∧,使得P^-1 AP？

Answer 1

记原矩阵为A,特征值为λ,特征向量为α,单位矩阵为E.
则根据定义Aα=λα.
即(A-λE)α=0.
因为特征向量不为0，所以|A-λE|=0.
解这个行列式可以求出不同的λ.将λ作对角矩阵的元素，即即求得对角矩阵Λ.
将每一个λ代入(A-λE)α=0
求此齐次方程，基础解系即为α.（如果λ是n重特征根，则对应的基础解系应有n个，则对此基础解系应当进行正交化分解；如果没有n个基础解系则说明不可对角化；实对称矩阵，不同λ对应的α正交）。
将求得的α单位化后，按照和对角矩阵中λ的顺序进行排列，即为变换矩阵P.