根号2是什无理数还是有理数?为什么?

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百度网友42f9a084da6
2020-04-29 · TA获得超过2.9万个赞
知道大有可为答主
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是无理数
假设根号二是一分数,设其为(P/Q)(P,Q互质),由根号二的意义得
(P/Q)的平方=2,即有(P的平方/Q的平方)=2,故Q的平方=2倍的P的平方。
请注意,2倍的P的平方必定是偶数,因而Q的平方也必定是偶数,进而Q一定是偶数。于是可设Q=2k(k是正整数),由上述式子得
(2k)的平方=2倍的P的平方,从而2倍的k的平方=P的平方。
所以P的平方必定是偶数,于是P也是偶数,这与P,Q互质矛盾。
这个矛盾表明我们的假设“根号二是一分数”不成立,所以根号二既非整数,也非分数,就是说,根号二是无理数。
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