Question

用三重积分计算立体Ω的体积

,其中Ω是由曲面z=根号(x^2+y^2)与z=1+根号(1-x^2-y^2)所围城的闭区间

Answer 1

当被积函数ƒ(x，y，z)
=
1时三重积分几何意义为立体Ω的体积。
--------------------------------
球面坐标:
所求体积
=
∫∫∫_Ω
dV
=
∫(0→2π)
dθ
∫(0→π/4)
sinφdφ
∫(0→2cosφ)
r²dr
=
2π∫(0→π/4)
sinφdφ
*
[
r³/3
]
|(0→2cosφ)
=
(2/3)π∫(0→π/4)
8cos³φ
d(-
cosφ)
=
(-
16/3)π
*
(1/4)[
cos⁴φ
]
|(0→π/4)
=
(-
4/3)π
*
(1/4
-
1)
=
π
--------------------------------
柱面坐标:Dz:z²
=
x²
+
y²
=>
Dzの面积
=
πz²
所求体积
=
∫∫∫_Ω
dV
=
∫∫∫_Ω₁
dV
+
∫∫∫_Ω₂
dV
=
∫(0→1)
[∫∫_Dz
dxdy]
dz
+
∫∫Dxy
[∫(1→1
+
√(1
-
x²
-
y²))
dz]
dxdy
=
∫(0→1)
πz²
dz
+
∫(0→2π)
dθ
∫(0→1)
rdr
∫(1→1
+
√(1
-
r²)
dz
=
π/3
+
2π
*
∫(0→1)
r√(1
-
r²)
dr
=
π/3
+
2π
*
(1/3)
=
π
其中:Ω₁是由锥面z
=
√(x²
+
y²)和z
=
1围成
Ω₂是由半球体z
=
1
+
√(1
-
x²
-
y²)和z
=
1围成

Answer 2