Question

关于大一微积分的问题,帮忙解答下哦，感激不尽啦。

1.三角函数，例如正弦和余弦当x趋于0和趋于无穷还有趋于某个特定值时有没有极限。
2.若g(x)趋于a时极限不存在，为什么极限g（x)的平方当x趋于a时极限存在，能举出例子么。
3.无穷大是不是属于极限不存在的范畴
4.x*arctan1/x和sinx当x趋于0时为什么不能比较无穷小阶的高低

Answer 1

1. sinx cosx 当x趋近于0是 前者极限为0，后者是1. 两者趋于某个特定值时当然有极限存在，因为他们在R上都是连续的。 当这两者都趋于无穷大时，sinx cosx 可以取到-1 到 1之间的任何值，所以极限不存在；
2.很简单的一个分段函数f（x）={1，x>=0；-1，x<0；}这个函数当x左趋近于0时 极限值为-1；右趋近于0时极限值为1；即f（0+）不等于f（0-）。所以极限不存在。但是如果给它平方，则变为g（x）=1，x属于R。此时g（x）在0出极限为1.
3.是的 ，如果自变量趋向于一个数或无穷大，函数值趋向于无穷大，则可以叫他的极限不存在。
4.你把两个相除，令x趋近0.用洛必达法则验证验证即可，马上有事不能帮你算。
给分。

Answer 2

1结合图像分析。.正弦、余弦、正切当X趋于零时分别趋于0、1、0；
正余弦在X趋于某个特定值时，有极限；
正切则先把该值转化为一个周期内的数，因为当趋于半个周期的倍数时，左右极限是不一样，故此时不存在极限。
正余弦，正切当X趋于无穷时，不存在极限（因为正余弦是周期函数，趋于无穷时，不一定趋于特定一点）。
2.分段函数：F(X)=1，x>0；-1，x<0；在断点x=0时符合。
3.根据极限的定义可知，无穷大属于极限不存在的范畴。定义中A是一个固定的数值，即常数。在解题时常会出现某个极限是等于无穷大的，这可以看做是无穷大量的定义，所以可以这么写。
4.求二者的比值的极限，该极限不存在。因为当X趋向于零时，1/x分别趋向于正无穷与负无穷，arctan1/x 趋向于正负二分之派，左右极限不等。

Answer 3

1.x->0 sinx->0 cosx->1 x->inf sinx,cosx无极限
2.有可能存在比如函数f(x)=cosx(x>0时),-cosx(x<0时),f(x)在0处左极限右极限不相等，因此没有极限，但是(cosx)^2在x=0处极限为1
3.这个问题不好说，对无穷大仍然可以用类似epsilon-delta语言来描述，比如对任意整数A，存在整数N，使得当n>N时，a_n>A；对连续情况，对任意整数A，都存在整数epsilon，使得|x-x0|<epsilon时，f(x)>A。
4.不是很明白这一问的意思，只要x<4/pi，xarctan1/x>x>sinx，x->0时，x*arctan1/x->pi*x/2，sinx->x