Question

(sinx)^3的n阶导数，急求详细过程？

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

这个是有规律可循的。阶次用n表示
f1(x) = 3(sin^2x)cosx = 3(1-cos^2x)cosx = 3cosx - 3cos^3x
f2(x) = -3sinx + 3^2cos^2x ·sinx = -3sinx + 3^2(1-sin^2x)sinx = -3sinx + 3^2sinx -3^2sin^3x
f3(x) = -3cosx +3^2cosx - 3^3sin^2x·cosx = -3cosx +3^2cosx - 3^3(1-cos^2x)cosx = -3cosx +3^2cosx -3^3cosx + 3^3cos^3x
到此应该能看出规律来了吧。
可以看到，奇数阶次都是cosx，偶数阶次都是sinx，而每一项的符号都是正负相间的，而且第一项的符号是以+ - - +的周期性变化，且前面的项都是一次cosx或sinx，最后一项都是sin^3x或cos^3x，那么我就可以很快的写出
f4(x)=3sinx - 3^2sinx + 3^3sinx - 3^4sinx +3^4sin^3x
通项要分4n+1，4n+2，4n+3，4n+4来讨论
4n+1阶次导数共有4n+2项
f4n+1(x) = 3cosx -3^2cosx + 3^3cosx - 3^4cosx + ... + 3^(4n+1)cosx -3^(4n+1)cos^3x
4n+2阶次导数共有4n+3项
f4n+2(x) = -3sinx + 3^2sinx - 3^3sinx + 3^4sinx - ... + 3^(4n+2)sinx -3^(4n+2)sin^3x
4n+3阶次导数共有4n+4项
f4n+1(x) = -3cosx + 3^2cosx - 3^3cosx + 3^4cosx - ... - 3^(4n+3)cosx + 3^(4n+3)cos^3x
4n+4阶次导数共有4n+5项
f4n+1(x) = 3sinx -3^2sinx + 3^3sinx - 3^4sinx + ... - 3^(4n+4)sinsx + 3^(4n+4)sin^3x

Answer 3

y=(sinx)^3
y'=3(sinx)^2cosx=(3/2)(1-cos2x)cosx=(3/2)(cosx-cos2xcosx)
cos2xcosx积化和差之后按如下规律计算
sin(ax)的n阶导数是a^n*sin(ax+(n/2)pi).
cos(ax)的n阶导数是a^n*cos(ax+(n/2)pi).
pi是圆周率.

Answer 4