Question

求助高手解决高数问题f''(x)在[a,b]上连续,证明

f ''(x)在[a,b]上连续,证明:存在一个m,使f(x)在a(下限),b上的定积分等于1/2(b-a)f(1/2 a + 1/2 b) + 1/24 (b-a)^3 f ''(m)

非常感谢

Answer 1

你确定题目中第一项有1/2吗
假设f(x)=3,是常数函数,那么f"(m)=0
无论m取何值,都有
左侧=∫f(x)dx=3(b-a)
右侧=3/2 * (b-a)
显然不成立,矛盾在于第一项的系数1/2

我可以99%的肯定题目是没有1/2的,除了上面的例子,更因为可以给出修改后题目(去掉1/2)的证明.
证明:
f(x)在(a+b)/2做泰勒展开到2介余项
f(x)=f((a+b)/2)+f'((a+b)/2)*(x-(a+b)/2)+[f"(ε)/2]*(x-(a+b)/2)^2
对f(x)在[a b]上积分
∫f(x)dx =∫f((a+b)/2)+f'((a+b)/2)*(x-(a+b)/2)+[f"(ε)/2]*(x-(a+b)/2)^2 dx
=(b-a)*f((a+b)/2)+∫[f"(ε)/2]*(x-(a+b)/2)^2 dx (算一下,第2项积分是0)
因为f"(x)在[a,b]上连续,所以P<=f"(x)<=Q
(b-a)*f((a+b)/2)+∫f"(P)/2*(x-(a+b)/2)^2 dx
<=∫f(x)dx<=(b-a)*f((a+b)/2)+∫f"(Q)/2*(x-(a+b)/2)^2 dx
积分后(b-a)*f((a+b)/2)+1/24 (b-a)^3 f"(P)
<=∫f(x)dx<=(b-a)*f((a+b)/2)+1/24 (b-a)^3 f"(Q)
因为f"(x)在[a,b]上连续,必然存在m使
∫f(x)dx=(b-a)*f((a+b)/2)+1/24 (b-a)^3 f"(m)

这是考研数学的常见题型,一见到f ''(x)在[a,b]上连续,和这种熟悉的表述,就可以立即想到命题人的意图--利用f ''(x)在[a,b]上的上下限确定∫f(x)dx的区间,而这个区间恰好是f ''(x)的函数,再用一次f"(x)在[a,b]上连续,一定存在某个f"(m) 使等式成立.