Question

关于高数求导的问题

1.这道题这么做为什么不对？
对函数xy=e^(x+y)求导：
两边取对数得：(1/x)+(1/y)*y'=1+y'
所以：y'=(xy-y)/(x-xy)
正确的应该怎么做？
2.d(sinx(^3))=(_________)d(x^(1/2))
麻烦写一下详细过程，谢谢。
3.d(arctan(e^x))=(______)d(e^(-x))=(________)d(x)
麻烦写一下详细过程，谢谢。

Answer 1

解说：

楼主耐心一点，我慢慢跟您解释：

1、dy/dx 表示y是x的函数，x的变化，引起y的变化，变化的比值就是导数，就是斜率。

2、我们平时碰到的函数大多是显函数(explicit function)，就是可以解出y,用x来表示y。

3、但是，多数情况下，我们的方程是解不出的，也就是无法写出y=f(x)的形式，如 y siny = ln(x y) 3,解100辈子也解不出来！！这样的函数叫做
隐函数(implicit function).

4、碰到隐函数时，记住y是x的函数，我们求导是对x求导，而不是对y求导，y只是扮演了复合函数的中间角色！如y^2,我们对x求导，因为复合的关系，先对y求导，是d(y^2)/dy = 2y。y^2是复合函数，我们对y求导后得到的是2y,可是y仍然是x的函数，所以还得继续导下去，就是将y对x求导，即还有一个dy/dx.
合起来有： d(y^2)/dx = [d(y^2)/dy]*[dy/dx] = 2y*dy/dx.

5.如果复合关系涉及到更多层次，如y是u的函数，u是v的函数，v是w的函数，w是x的函数。现在要对x求导，就得一步一步连锁导下去：
dy/dx = [dy/du]*[du/dv]*[dv/dw]*[dw/dx]。

如果，还没有讲清楚，请楼主联系本人，我在网上为你义务辅导。OK？

Answer 2

补充一下一元函数求导公式：注f=f(x)，g=(x)，fg=f(x)g(x)，f（g）=f[g(x))],以下用简写的方式
(fg )'=f'g+fg'
[f(g)]'=f'(g)g'

xy=e^(x+y)函数分解f(x)=x,g(x)=y,h(x)=e^(x+y)=e^[f(x)+g(x)]是复合函数
所以求导就可以进行如下f(x)g(x)=e^(x+y)=e^[f(x)+g(x)]
左=f'g+fg'=y+xy'
右=h'[f'+g']=(f'+g')e^[f+g]=(1+y')e^(x+y)
左=右 得y+xy'=e^[x+y] (1+y') 整理后得y'=[e^(x+y)-y]/[x-e^(x+y)]

d(sinx(^3))=(_________)d(x^(1/2)) 等价于求
求y的导数，其中，y=sin（x^3),自变量是x^(1/2)，方法如下：
令m=x^(1/2)，则x=m^2,x^3=[x^(1/2)]^6=m^6 原题就转化为dsin（m^6）=（）dm
，求出系数=dsin（m^6）/dm=cos（m^6）*6m^5,再将m=x^(1/2)带入得cos（m^6）*6m^5=cos[x^(1/2)]^6 *6x^(5/2)=6x^(5/2)cos（x^3),所以括弧里就填6x^(5/2)cos（x^3),

用同样的方法求第3小题吧