Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)长轴长为4，离心率为1/2。

Answer 1

(1).长轴长为2a=4,a=2,离心率为e=c/a=1/2,c=1,b^2=a^2-c^=2^2-1^2=4-1=3,椭圆的方程为x^2/4+y^2/3=1
(2)设p点坐标为(x,,y,),则过点p的椭圆的切线l方程为xx,/4+yy,/3=1,l与y轴的交点a(0,3/y,)，切线l的斜率为
-(x,/4)/(y,/3)=-3x,/(4y,),过p且垂直于l的直线l1斜率为4y,/(3x,),直线l1方程为y-y,=[4y,/(3x,)](x-x,),直线l1与y轴交点b(0,-y,/3),设q(x,y)为以ab为直径的圆上任一点，当q不同于a、b时直线qa垂直与直线qb，斜率之积=-1，即kqa*kqb=[(y-3/y,)/(x-0)][(y+y,/3)/(x-0)]=-1,整理得(y-3/y,)(y+y,/3)+x^2=0,a、b坐标满足此方程，
再整理得x^2+y^2+(y,/3-3/y,)y-1=0,此方程表示以ab为直径的圆，当y=0,x=1或-1(与p点坐标为(x,,y,)无关),
这说明以ab为直径的圆过定点(1,0)和(-1,0).

Answer 2

（1）
x^2/4+y^2/3=1
（2）
设直线l:y=kx-2，代入x^2/4+y^2/3=1
x^2/4+(kx-2)^2/3=1
整理得：(4k^2+3)x^2-16kx+4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)那么C(x1,-y1)
根据韦达定理：
x1+x2=16k/(4k^2+3)
x1x2=4/(4k^2+3)
易知P(2/k,0)
设Q(m,0)
因为C,B,Q三点共线
所以，kCQ=kBQ
即-y2/(m-x2)=y1/(m-x1)
y1(m-x2)+y2(m-x1)=0
(kx1-2)(m-x2)+(kx2-2)(m-x1)=0
m[k(x1+x2)-4)-2kx1x2+2(x1+x2)=0
∴m[k(x1+x2)-4]=2kx1x2-2(x1+x2)
m[16k^2/(4k^2+3)-4]=8k/(4k^2+3)-32k/(4k^2+3)
-12m=-24k
∴m=2k
∴|OP|*|OQ|=2/|k|*2|k|=4
即|OP|*|OQ|为常数4