Question

证明函数连续可导性

Answer 1

连续性：只要求当x趋近于0时的值与f(0)的值是否一致即可。
limf(x)=lim(x^2*sin(1/x))=0
(这步是利用有界函数与无穷小的乘积为无穷小)
而f(0)=0
则函数在0处连续。
可导性：要证明可导则要知道在0处的左右导数是否相等,或者在该点处是否可导
求导数可以用定义法
f'(0)=lim((f(x)-f(0))/x)=lim((x^2*sin(1/x))/x)=lim(x*sin(1/x))=0
可知f(x)在x=0处有导数且导数存在。则在x=0处可导

Answer 2

连续性但不可导.
连续是因为:
lim(xsin1/x)=0;这是因为|sin1/x|<=1是个有界的函数,而当x->0时,x为无穷小量,(这个概念知道吗？就是趋于0),因此极限为0,而它的函数值也是0,于是由点连续的定义知在x=0点连续.
不可导是因为:
f'(x)=lim[(f(x0)-f(0))/x0]=lim(f(x0)/x0)=lim(sin1/x0),当x0->0时.这个极限不存在.故没有导数.