Question

什么情况下矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵，能证明下吗？

Answer 1

A^{-1}=A^T <=> AA^T=A^TA=I，这个就是正交矩阵的定义，对于一般的n阶正交阵而言没有更简单的条件了。

正交矩阵A与其转置相乘，得到的是一个对角矩阵。其对角线上的元素就是矩阵A内每一列向量的模的平方。如果A是单位正交矩阵，则A与A的转置相乘得到的恰好就是单位矩阵。

矩阵a的转置矩阵a^t等于a的逆矩阵a^-1

那么aa^t=aa^-1=e

设a=(αzhi1，α2，α3，...，αn)^t，其中αi为n维列向量

那么a^t=(α1，α2，α3，...，αn)，

α1^tα1，α1^tα2，α1^tα3，...，α1^tαn

α2^tα1，α2^tα2，α2^tα3，...，α2^tαn

那么aa^t=()=e，

αn^tα1，αn^tα2，αn^tα3，...，αn^tαn

那么||αi^tαi||=1，||αi^tαj||，i≠j

也就是说a的每一个列向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交

同理设a=(α1，α2，α3，...，αn)时用a^ta=e可以证明a的每一个行向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交，这样的矩阵叫做正交矩阵，也就是说a必须是单位矩阵才满足a^t=a^-1

扩展资料：

在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。

1、方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；

2、方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；

3、A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；

4、A的列向量组也是正交单位向量组。

5、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

参考资料来源：百度百科-正交矩阵

Answer 2

你好~~
矩阵A的转置矩阵A^T等于A的逆矩阵A^-1
那么AA^T=AA^-1=E
设A=(α1，α2，α3，...，αn)^T，其中αi为n维列向量，
那么A^T=(α1，α2，α3，...，αn)，

α1^Tα1，α1^Tα2，α1^Tα3，...，α1^Tαn
α2^Tα1，α2^Tα2，α2^Tα3，...，α2^Tαn
那么AA^T=( ... ... ... ... ... )=E，
... ... ... ... ...
αn^Tα1，αn^Tα2，αn^Tα3，...，αn^Tαn

那么||αi^Tαi||=1，||αi^Tαj||，i≠j，
也就是说A的每一个列向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交
同理设A=(α1，α2，α3，...，αn)时用A^TA=E可以证明A的每一个行向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交
这样的矩阵叫做正交矩阵，也就是说A必须是单位矩阵才满足A^T=A^-1

还有没不明白的，欢迎追问~~

Answer 3

AA^T=AA^-1=E
设A=(α1，α2，α3，...，αn)^T，其中αi为n维列向量，
那么A^T=(α1，α2，α3，...，αn)，

α1^Tα1，α1^Tα2，α1^Tα3，...，α1^Tαn
α2^Tα1，α2^Tα2，α2^Tα3，...，α2^Tαn
那么AA^T=( ... ... ... ... ... )=E，
... ... ... ... ...
αn^Tα1，αn^Tα2，αn^Tα3，...，αn^Tαn

那么||αi^Tαi||=1，||αi^Tαj||，i≠j，
也就是说A的每一个列向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交
同理设A=(α1，α2，α3，...，αn)时用A^TA=E可以证明A的每一个行向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交

Answer 4

正交矩阵A与其转置相乘，得到的是一个对角矩阵。其对角线上的元素就是矩阵A内每一列向量的模的平方。如果A是单位正交矩阵，则A与A的转置相乘得到的恰好就是单位矩阵。

Answer 5

A^{-1}=A^T <=> AA^T=A^TA=I，这个就是正交矩阵的定义，对于一般的n阶正交阵而言没有更简单的条件了