Question

求证：sin(α+β)+sin(α+2β)+……+sin(α+nβ)=sin(nβ/2)*sin[α+(n+1)*β/2]/sin(β/2)

Answer 1

证明：由积化和差公式，sinAsinB
=
(1/2)[cos(A–
B)
–
cos(A
+
B)]，所以sin(α
+
kβ)sin(β/2)
=
(1/2){cos(α
–
β/2
+
kβ)
–
cos[α–
β/2
+
(k
+
1)β]}，因此[sin(α
+
β)
+
sin(α
+
2β)
+……+
sin(α
+
nβ)]sin(β/2)=
(1/2){cos(α
+
β/2)
–
cos(α
+
3β/2)
+
cos(α
+
3β/2)
–
cos(α
+
5β/2)
+……+
cos(α–
β/2
+
nβ)
–
cos[α
–
β/2
+
(n
+
1)β]}
=
(1/2){cos(α
+
β/2)
–
cos[α
–
β/2
+
(n
+1)β]}
①；
由和差化积公式，cosA
–
cosB
=
-2sin[(A
+
B)/2]sin[(A
–
B)/2]，所以①式
=
(1/2)*(-2)sin[α
+
(n
+
1)β/2]sin[β/2
–
(n
+
1)β/2]=
-sin[α
+
(n
+
1)β/2]sin(-nβ/2)
=
sin[α
+
(n
+
1)β/2]sin(nβ/2)，即[sin(α
+
β)
+sin(α
+
2β)
+……+
sin(α
+
nβ)]sin(β/2)
=
sin[α
+
(n
+
1)β/2]sin(nβ/2)，所以sin(α
+
β)
+sin(α
+
2β)
+……+
sin(α
+
nβ)
=
sin(nβ/2)sin[α
+
(n
+
1)β/2]/sin(β/2)
，得证。