Question

已知函数发f(x)=lg(mx^2+mx+1/4m+1) 求 函数y=f(x)的值域能否为R 说明理由

Answer 1

由于 f(x)是对数函数，所以，值域能否为R，取决于
g(x)=mx^2+mx+1/4m+1的值域中能否包含全体正数。
由于 Δ=m^2-4m(1/4m+1)=-4m，
所以，当m>0（抛物线开口向上）时，Δ<0，当m<0时，Δ>0，
因此，g(x)的值域不可能包含所有正数，
也就是 f(x)的值域不可能是R。

Answer 2

f(x)的值域可以为R

由于 f(x)是对数函数，所以，值域能否为R，取决于
g(x)=mx^2+mx+1/4m+1的值域中能否包含全体正数。
由于 g(x) = mx^2+mx+1/4m+1 = m(x + 1/2)^2 - m/4 + 1/4m + 1
由此可知，g(x)是抛弧线，若要g(x)包含所有正数，则开口必向上，因此m > 0.
因此，当m> 0时，g(x) 最小值为 - m/ 4 + 1/ 4m + 1.
若要保证g(x)包含所有正数，则只需要g(x)的最小值小于等于0即可。
所以有：- m/ 4 + 1/ 4m + 1<=0
由此可推出 m >= 2 + √5 或则 m <= 2 - √5
因为 m > 0
所以 m >= 2 + √5

最终：当m >= 2 + √5 时，f(x)的值域为R

Answer 3

不知道

追问

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