Question

已知函数f(x)=2+log3x(1≤x≤9),求函数y=[f(x)^2+f(x^2) 的最大值和最小值,并求出相应的值

Answer 1

y=f(x)^2+f(x^2)=(2+log3x)^2+2+log3(x^2)
=(log3x)^2+6log3x+6
此时1《x《9，且1《x^2《9，则此时的x取值范围是1《x《3
(注意此时函数y的x的范围和f(x)的x的范围是不同的，此处是易错点)
这样令t=log3x属于[0,1]，则y=t^2+6t+6=(t+3)^2-3
所以最大值是t=1,y=13,此时x=3;
最小值是t=0,y=6,此时x=1

Answer 2

根据f（x）的定义域为[1，9]先求出y的定义域为[1，3]，然后利用二次函数的最值再求函数y=[f（x）]2+f（x2）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3的最大值与最小值．

解：由f（x）的定义域为[1，9]可得y的定义域为[1，3]，
又y=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3，
∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1．
∴当x=1时，y有最小值6；
当x=3时，y有最大值13．

Answer 3

根据f（x）的定义域为[1，9]先求出y=[f（x）]2+f（x2）的定义域为[1，3]，然后利用二次函数的最值再求函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3的最大值．
解答：解：由f（x）的定义域为[1，9]可得y=[f（x）]2+f（x2）的定义域为[1，3]，
又g（x）=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3，
∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1．
∴当x=3时，g（x）有最大值13．
故答案为：13