Question

求级数∑ (1/n)x^n的和函数并求∑ (-1)^n/n

Answer 1

明显地，级数收敛域为
[-1，1）。
令
f(x)=∑(n=1，∞)
x^n/n
，那么
f
'(x)=∑x^(n-1)=1/(1-x)
，
所以积分得
f(x)=ln(1-x)+C
，
由
f(0)=0
可得
C=0
，所以
f(x)=ln(1-x)
。
在上式中取
x=
-1
，得
∑(-1)^n/n=ln2
。

Answer 2

∑(n^2/n!)x^n
=∑(n/(n-1)!)x^n
=∑(1/(n-1)!+1/(n-2)!)x^n
(约定1/(-1)!=0)
=∑(1/(n-1)!)x^n+∑(1/(n-2)!)x^n
(事实上这一步要求两个级数分别收敛，这个验证一下收敛域即可)
=x∑(1/n!)x^n+x+x^2∑(1/n!)x^n+x^2
而∑(1/n!)x^n是常见的级数e^x-1
那么就可以知道这个和是(x+x^2)(e^x+1)

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

看了之前的答案感觉都有问题，这道题用幂级数和函数做