Question

微分方程y''-2y'+5y=0的通解是什么？（要准确答案，要详细过程，先给十分，满意之后再给50分）

Answer 1

给你待定系数法，如下
y''-2y'+5y=0变形为：
(y'+αy)'=-β(y'+αy)
可知：α+β=-2，αβ=5（解得：α=-1+2i，β=-1-2i，先不带入）
从而有：y'+αy=A*e^{-βx}
令y=u*e^{-βx}为上面方程的解，带入化简则有
u'-(β-α)u=A
即：[u+A/(β-α)]'-(β-α)[u+A/(β-α)]=0
解得：
u+A/(β-α)=B*e^{(β-α)x}
从而u=A/(α-β)+B*e^{(β-α)x}
y=u*e^{-βx}=[A/(α-β)]*e^{-βx}+B*e^{-αx}
将α=-1+2i，β=-1-2i带入化简可得
y=e^{x}[(A/4i+B)cos(2x)+(A/4-Bi)sin(2x)]
令C=A/4i+B，D=A/4-Bi，可得原方程的通解为：
y=e^{x}[C*cos(2x)+D*sin(2x)]