Question

均值不等式，应怎样学？怎样运用均值不等式的公式？？？

Answer 1

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√
(a1^2+a2^2+...+an^2)/n
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
的式子即为均值不等式。
a1、a2、…、an∈R
+，当且仅当a1=a2=
…
=an时取“=”号
均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);
(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）
则有：当r
注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)
由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
例一
证明不等式：2√x≥3-1/x
(x>0)
证明籂础焚飞莳读锋嫂福讥：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3
所以，2√x≥3-1/x
例二
长方形的面积为p，求周长的最小值
解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p
因为a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p
周长最小值为4√p
例三
长方形的周长为p，求面积的最大值
解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p
因为a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16
面积最大值是p^2/16

Answer 2

1、调和平均数：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
　　2、几何平均数：gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)
　　3、算术平均数：an=(a1+a2+...+an)/n
　　4、平方平均数：qn=√
[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
　　这四种平均数满足hn≤gn≤an≤qn
　　a1、a2、…
、an∈r
+，当且仅当a1=a2=
…
=an时取“=”号
　　均值不等式的一般形式：设函数d(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);
　　(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即d(0)=(a1a2...an)^(1/n)）
　　则有：当r<s时，d(r)≤d(s)
　　注意到hn≤gn≤an≤qn仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)