Question

设数列{an}前n项和为Sn，已知a1+2a2+3a3+...+nan=(n-1)Sn+2n,

（1）求a2,a3的值；（2）求证：数列{Sn+2}是等比数列。

Answer 1

1.a1=2
a1+2a2=S2+4,a1+a2=S2,a2=4
a1+2a2+3a3=2S3+6,a1+a2+a3=S3,a3=a1+6=8
2.a1+2a2+3a3+...+nan=(n-1)Sn+2n
a1+2a2+3a3+...+nan+(n+1)a(n+1)=nS(n+1)+2(n+1)
(n+1)a(n+1)=nS(n+1)-(n-1)Sn+2=(n+1)[S(n+1)-Sn]
所以S(n+1)=2Sn+2
S(n+1)+2=2(Sn+2)
首项S1=a1=2，公比2的等比数列

Answer 2

Sn＝nan－n(n-1)
S(n-1)＝(n-1)a(n-1)－(n-1)(n-2)
相减，得an＝Sn－S(n-1)＝nan－(n-1)a(n-1)－2(n-1)，所以an－a(n-1)＝2，所以数列{an}是等差数列
an＝a1＋2(n-1)＝1＋2(n-1)＝2n-1

Answer 3

好难啊，O(∩_∩)O哈哈~