Question

设数列{an}前n项和为Sn，已知a1+2a2+3a3+...+nan=(n-1)Sn+2n,

（1）求a2,a3的值；（2）求证：数列{Sn+2}是等比数列。

Answer 1

a1=2,
a1+2a2=a1+a2+4
a2=4
a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6
10+3a3=12+2a3+6
a3=8
(a1+a2+a3+.....+an)+(a2+a3+......+an)+......+an=sn+(sn-s1)+(sn-s2)+.....+(sn-s(n-1))
n*sn-(s1+s2+...+s(n-1))=(n-1)sn+2n
sn=(s1+s2+......+s(n-1))+2n
s(n+1)=(s1+s2+....+sn))+2(n+1)
a(n+1)=sn+2
an=s(n-1)+2
a(n+1)-an=an
a(n+1)=2an
{an}是等比数列
an=2^n
sn=2(2^n-1)=2^(n+1)-2
sn+2=2^(n+1)
[s(n+1)+2]/[sn+2]=2为常数
得证

Answer 2

第一问简单的，不说了
第二问可以这样的：
a1+2a2+3a3+...+nan=(n-1)Sn+2n...............................1式
a1+2a2+3a3+...+(n-1)a(n-1)=(n-2)S(n-1)+2(n-1)...............2式
1式-2式得：
nan=(n-1)Sn+2n-[(n-2)S(n-1)+2(n-1)]
=n[Sn-S(n-1)]-Sn+2S(n-1)+2
=nan-Sn+2S(n-1)+2
所以-Sn+2S(n-1)+2=0
Sn=2S(n-1)+2
Sn+2=2S(n-1)+4=2[S(n-1)+2]
Sn+2/[S(n-1)+2]=2
为等比数列

Answer 3

（1）
a1+2a2+3a3+...+nan=(n-1)Sn+2n
a1+2a2+...+(n-1)a(n-1)=(n-2)S(n-1)+2n-2
上式减下式，nan=(n-1)[Sn-S(n-1)]+S(n-1)+2=(n-1)an+S(n-1)+2
S(n-1)=an-2
Sn=a(n+1)-2
an=a(n+1)-an
a(n+1)=2an
a1=2
a2=4
a3=8
（2）
Sn+2=a(n+1)
因为{an}是等比数列，所以{Sn+2}是等比数列

Answer 4

a1+2a2+3a3+...+nan=(n-1)Sn+2n
a1+2a2+3a3+...+(n-1)a(n-1)=(n-2)S(n-1)+2(n-1)
(n-1)Sn+2n - [(n-2)S(n-1)+2(n-1)] = nan=n[Sn-S(n-1)]
(n-1)Sn-(n-2)S(n-1)+2=nSn-nS(n-1)
Sn=2S(n-1)+2
Sn+2=2S(n-1)+4=2[S(n-1)+2]
(Sn+2)/[S(n-1)+2] = 2
公比为2的等比数列

a1=2=S1
2+2a2=S2+4
S2=2a2-2=a1+a2=2+a2
a2=4,S2=6

2+8+3a3=2S3+6
S3=(4+3a3)/2=S2+a3=6+a3
4+3a3=12+2a2
a3=8, S3=14

Answer 5

首先，你可以令N=1，2，3，依次可求出，A1,A2,A3=2,4,8.
第二问。可以如下：
a1+2a2+3a3+...+nan=(n-1)Sn+2n,
a1+2a2+~(n-1)an-1=(n-2)Sn-2+2(n-1);
上式减下式可得：
an=Sn-1+2
因此有:
a+1=Sn+2
再下式减上式有：
an+1=2an.
到了这里了，同学会了吧。