已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1+2a2+3a3+…+nan=(n
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n属于N*)(1)求数列{an}的通项公式(2)若p,q,r是三个互不相等的正...
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n属于N*) (1)求数列{an}的通项公式 (2)若p,q,r是三个互不相等的正整数,且p,q,r成等差数列,试判断ap-1,aq-1,ar-1是否成等差数列?理由
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解答:
a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)sn+2n(n€N*)
(1) 先求a1:
n=1,
∴ a1=2
(2)利用递推式:
∵ a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1)+nan=(n-1)Sn+2n ①
∴ a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1) =(n-2)S(n-1)+2(n-1) ②
①-②:
nan =(n-1)Sn-(n-2)S(n-1)+2n
即 n[S(n)-S(n-1)]=(n-1)Sn-(n-2)S(n-1)+2
∴ S(n)=2S(n-1)+2
∴ S(n)+2=2[S(n-1)+2]
∴ {Sn+2}是以S1+2=2+2=4为首项,2为公比的等比数列,
∴ Sn+2=4*2^n=2^(n+1)
∴ Sn=-2+2^(n+1)
∴ n≥2时,an=Sn-S(n-1)=2^(n+1)-2^(n)=2^n
n=1同样满足上式
∴ an=2^n
a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)sn+2n(n€N*)
(1) 先求a1:
n=1,
∴ a1=2
(2)利用递推式:
∵ a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1)+nan=(n-1)Sn+2n ①
∴ a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1) =(n-2)S(n-1)+2(n-1) ②
①-②:
nan =(n-1)Sn-(n-2)S(n-1)+2n
即 n[S(n)-S(n-1)]=(n-1)Sn-(n-2)S(n-1)+2
∴ S(n)=2S(n-1)+2
∴ S(n)+2=2[S(n-1)+2]
∴ {Sn+2}是以S1+2=2+2=4为首项,2为公比的等比数列,
∴ Sn+2=4*2^n=2^(n+1)
∴ Sn=-2+2^(n+1)
∴ n≥2时,an=Sn-S(n-1)=2^(n+1)-2^(n)=2^n
n=1同样满足上式
∴ an=2^n
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(1)∵a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),①
∴当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)Sn-1+2(n-1).②
①-②得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+2.
∴-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2,
∴Sn+2=2(Sn-1+2).
∵S1+2=4≠0,
∴Sn-1+2≠0,
∴q=2,
故{Sn+2}是以4为首项,2为公比的等比数列
∴an=S(n-1)+2=4(1+2^n)/(2-1)+2=[2^(n+2)]+6
(2)2q=(p+r)
a(p)-1=[2^(p+2)]+5
a(q)-1=[2^(q+2)]+5
a(r)-1=[2^(r+2)]+5
=>(a(p)-1)(a(r)-1)=2^(p+r+4)+5(2^(p+2)+2^(r+2))+25
[a(q)-1]²=[2^(2q+4)]+10(2^(q+2))+25=2^(p+r+4)+10(2^(q+2))+25
∴(a(p)-1)(a(r)-1)≠[a(q)-1]²
所以,不存在这样的p,q,r
∴当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)Sn-1+2(n-1).②
①-②得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+2.
∴-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2,
∴Sn+2=2(Sn-1+2).
∵S1+2=4≠0,
∴Sn-1+2≠0,
∴q=2,
故{Sn+2}是以4为首项,2为公比的等比数列
∴an=S(n-1)+2=4(1+2^n)/(2-1)+2=[2^(n+2)]+6
(2)2q=(p+r)
a(p)-1=[2^(p+2)]+5
a(q)-1=[2^(q+2)]+5
a(r)-1=[2^(r+2)]+5
=>(a(p)-1)(a(r)-1)=2^(p+r+4)+5(2^(p+2)+2^(r+2))+25
[a(q)-1]²=[2^(2q+4)]+10(2^(q+2))+25=2^(p+r+4)+10(2^(q+2))+25
∴(a(p)-1)(a(r)-1)≠[a(q)-1]²
所以,不存在这样的p,q,r
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