Question

设数列{an}的前n项和为sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*)

除去数列{an}的第1项,第4项，第7项，......，第3n-2项，......，余下的项顺序不变，组成一个新数列{bn}，若{bn}的前n项的和为Tn,求证12/5<Tn+1/Tn<=11/3

Answer 1

a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n，①
n=1时a1=2,
n>1时a1+2a2+3a3+…+（n-1)a<n-1>=(n-2)S<n-1>+2(n-1),②
①-②，nan=(n-1)Sn-(n-2)S<n-1>+2,
把an=Sn-S<n-1>代入上式，得Sn=2S<n-1>+2,③
以n-1代n,得S<n-1>=2S<n-2>+2,④
③-④，an=2a<n-1>=……=a1*2^(n-1)=2^n.
b1=a2,b2=a3,b3=a5,b4=a6,……，b<2m-1>=a<3m-1>,b<2m>=a<3m>,
∴T<2m>=(a2+a3)[2^m-1]/7=12[2^(3m)-1]/7,
T<2m-1>=T<2m>-a<3m>=12[2^(3m)-1]/7-2^(3m)=[5*2^(3m)-12]/7,
T<2m>/T<2m-1>=12[2^(3m)-1]/[5*2^(3m)-12]<=11/3,
<==>36[2^(3m)-1}<=55*2^(3m)-132,
<==>96<=19*2^(3m),m∈n+,此式成立；
12[2^(3m)-1]/[5*2^(3m)-12]>=12/5,
<==>5[2^(3m)-1]>=5*2^(3m)-12,
<==>-5>-12.
T<2m+1>/T<2m>=[5*2^(3m+3)-12]/[12*2^(3m)-12]<=11/3,
<==>40*2^(3m)-12<=44*2^(3m)-44,
<==>8<=2^(3m),此式成立；
[5*2^(3m+3)-12]/[12*2^(3m)-12]>=12/5,
<==>200*2^(3m)-60>=144*2^(3m)-144,
<==>56*2^(3m)>=-84.
∴命题成立.

Answer 2

当n=1时,A1=2*1=2;
由题知：A1+2A2+2A3…+nAn=(n-1)Sn+2n…………（1）
A1+2A2+2A3…+(n-1)An-1=(n-2)Sn-1+2(n-1)……（2）
（1）-（2）: nAn=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2
nSn-nSn-1=nSn-Sn-nSn-1-2Sn-1+2
Sn-2Sn-1=2
Sn=2An-2…………（3）
Sn-1=2An-1-2…………（4）
（3）-（4）： An=2A(n-1)
公比为2的等比数列
An=2^n
数列An的第n项之前被取出的3n-2项的和Pn=2(1-8^([(n-1)/3]+1))/(1-8)
【n是An的下标】([a]表示不超过a的最大整数）
由于T[n+1]/Tn 不好标下标 我们用Sn-Pn来计算
Tk=Sn-Pn=2(1-2^n)/(1-2)-2(1-8^([(n-1)/3]+1))/(1-8)
当n=3m(m≥1)的形式时，
化简T[k+1]/Tk=(Sn+2-Pn+2)/(Sn-Pn)=(10*8^m-3)/(3*8^m-3)∈(10/3,11/3]
当n=3m-1(m≥1)的形式时，
化简T[k+1]/Tk=(Sn+1-Pn+1)/(Sn-Pn)=(12*8^m-12)/(5*8^m-12)∈(12/5,3]
所以T[k+1]/Tk∈(12/5,11/3]

追问

不懂，有QQ吗？