Question

线性代数计算特征多项式时有什么技巧

Answer 1

由于多项式的因式分解比较困难,
所以在求矩阵的特征值时
[关键]
尽量利用行列式的性质,使某行出现λ的一次因式的公因子
当然也有不好凑的例子,
但大多数考题都不会太困难
例:
A
=
4
-2
2
2
-1
1
-2
1
-1
解:
|A-λE|
=
4-λ
-2
2
2
-1-λ
1
-2
1
-1-λ
r3+r2
4-λ
-2
2
2
-1-λ
1
0
-λ
-λ
(在将第3行某个元素化为0的同时,
另两个元素成比例)
c2-c3
4-λ
-4
2
2
-2-λ
1
0
0
-λ
(这样就可以按第3行展开了)
=
-λ[(4-λ)(-2-λ)+8]
=
-λ(λ^2-2λ)
(这里一般要用十字相乘法进行分解)
=
-λ^2(λ-2).
所以A的特征值为
2,0,0