Question

笔算开平方的方法

Answer 1

上面我们学习了查表和用计算器求平方根的方法．或许有的同学会问：不用平方根表和计算器，可不可以求出一个数的平方根呢？先一起来研究一下，怎样求 ，这里1156是四位数，所以它的算术平方根的整数部分是两位数，且易观察出其中的十位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a？为此，我们从a所满足的关系式来进行分析．
根据两数和的平方公式，可以得到
1156=（30+a）2＝302＋2×30a＋a2，
所以 1156－302＝2×30a＋a2，
即 256=（3×20+a）a，
这就是说， a是这样一个正整数，它与 3×20的和，再乘以它本身，等于256．
为便于求得a，可用下面的竖式来进行计算：

根号上面的数3是平方根的十位数．将 256试除以20×3，得4．由于4与20×3的和64，与4的积等于256，4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0，表示开方正好开尽．于是得到
1156＝342，
或

上述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下：
1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开（竖式中的11’56），分成几段，表示所求平方根是几位数；
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）；
3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；
4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（3×20除256，所得的最大整数是 4，即试商是4）；
5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）；
6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数．

如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值．例如求 的近似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到
笔算开平方运算较繁，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．
我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．

Answer 2

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方（extraction of square root),其中a叫做被开方数。 　　a必须大于或等于零，即a为非负数 　　开方公式 　　X（n + 1） = Xn + (A / Xn – Xn)1 / 2.。（n，n+1与是下角标） 　　开平方的理论依据 　　开平方是平方的逆运算，只要我们知道平方的计算方法，开平方就迎刃而解了。 　　我们令10位数值为A，个位数值为B，即为A*10+B，根据二数和的平方有： 　　（A*10+B）^2=（A*10）^2+2（A*10）*B+B^2=（A^2）*100+（20A+B）*B。 　　举例说明：例359^2计算方法 　　1、3^2=9， 　　2、（20*3+5）*5=325， 　　3、（20*35+9）*9=6381， 　　4、将这些数，按两位分节合起来：90000+32500+6381=128881。得359^2=128881。 　　将这些计算步骤倒过来，就是开平方。同理，可以得开立方及N次方的方法。
编辑本段开方的计算步骤
　　1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开（竖式中的11’56），分成几段，表示所求平方根是几位数； 笔算开平方方法
　　2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）； 　　3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）； 　　4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（20×3除256，所得的最大整数是 4，即试商是4）； 　　实例　开方公式 　　X（n + 1） = Xn + ( Xn – Xn)1 / 2.。（n，n+1与是下角标）? 　　例如，A=5： 　　5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取 中间值2.5。 　　第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=22；输入值大于输出值，负反馈； 　　即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。
? 　　第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；输入值小于输出值，正反馈； 　　即5/2.2=2.27272，2.27272-2.2=-0.07.2.72，-0.07272×1/2=-0.03/636，2.2+0.03.636=2.23。取3位数2.23。 　　第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。 　　即5/2.23=2.2421525，,2.2421525-2.23=0.0121525，,0.0121525×1/2=0.00607，,2.23+0.006=2.236.，取4位数。 　　每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。 　　例如A=200. 　　200介如10的平方---20的平方之间。初始值可以取11，12，13，14，15，16，17，18，19。我们去15. 　　15+（200/15-15)1/2=14。取19也一样得出14.。：19+（200/19-19)1/2=14.。 　　14+(200/14-14)1/2=14.1。 　　14.1+（200/14.1-14.1)1/2=14.14.
编辑本段我国古代数学在开方上的成就
　　我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明，古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．

Answer 3

Answer 4

到底是怎样。。。。。。。