Question

初中几何问题 只能用全等或轴对称 有图！！

如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF、AF相交于点P、M
（1）求证：AB=CD
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由。

PS：请用∵（因为）∴（所以）的方式解答，如果要画辅助线，那么麻烦各位加工一下了

Answer 1

证明：（1）∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB= ∠BAC，
∵D与A关于E对称，
∴E为AD中点，
∵BC⊥AD，
∴BC为AD的中垂线，
∴AC=CD．
在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：证全等也可得到AC=CD）
∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB，
∴∠ACE=∠ABE，
∴AC=AB（注：证全等也可得到AC=AB），
∴AB=CD．
（2）∵∠BAC=2∠MPC，
又∵∠BAC=2∠CAD，
∴∠MPC=∠CAD，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠MPC=∠CDA，
∴∠MPF=∠CDM，
∵AC=AB，AE⊥BC，
∴CE=BE（注：证全等也可得到CE=BE），
∴AM为BC的中垂线，
∴CM=BM．（注：证全等也可得到CM=BM）
∵EM⊥BC，
∴EM平分∠CMB（等腰三角形三线合-）．
∴∠CME=∠BME（注：证全等也可得到∠CME=∠BME．），
∵∠BME=∠PMF，
∴∠PMF=∠CME，
∴∠MCD=∠F．（注：证三角形相似也可得到∠MCD=∠F）

或者这个：：1）证明：
∵点A与点D关于点E对称
∴AE=ED
∵AF为∠BAC的角平分线
∴CE=BE
∵在△AEC和△DEC中
AE=DE
∠AEB=∠DEC
CE=BE
∴△AEC≌△DEC（SAS）
∴AB=CD
（2）连结BF
∵AF为∠BAC的角平分线
∴CE=BE
∵BC⊥AF
∴∠CEF=∠BEF
∵在△CEF和△BEF中
CE=BE
∠CEF=∠BEF
EF=EF
∴△CEF≌△BEF（SAS）
∴∠ECF=∠EBF
∵CE⊥BE且CE=BE
∴CM=BM
∴∠MCE=∠MBE
∵∠ECF=∠EBF
∴∠MCP=∠MBF
∴∠F=∠MCD

Answer 2

证明：（1）∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB= ∠BAC，
∵D与A关于E对称，
∴E为AD中点，
∵BC⊥AD，
∴BC为AD的中垂线，
∴AC=CD．
在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：证全等也可得到AC=CD）
∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB，
∴∠ACE=∠ABE，
∴AC=AB（注：证全等也可得到AC=AB），
∴AB=CD．
（2）∵∠BAC=2∠MPC，
又∵∠BAC=2∠CAD，
∴∠MPC=∠CAD，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠MPC=∠CDA，
∴∠MPF=∠CDM，
∵AC=AB，AE⊥BC，
∴CE=BE（注：证全等也可得到CE=BE），
∴AM为BC的中垂线，
∴CM=BM．（注：证全等也可得到CM=BM）
∵EM⊥BC，
∴EM平分∠CMB（等腰三角形三线合-）．
∴∠CME=∠BME（注：证全等也可得到∠CME=∠BME．），
∵∠BME=∠PMF，
∴∠PMF=∠CME，
∴∠MCD=∠F．（注：证三角形相似也可得到∠MCD=∠F）

Answer 3

证明：（1）∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB=1/2 ∠BAC，
∵D与A关于E对称，
∴E为AD中点，AE=AD
∵BC⊥AD，
∴BC为AD的中垂线，
∴AC=CD．∠CAE=∠EAB=∠CDE
在Rt△AEB和Rt△DEC中得
∠EAB=∠EDC
AE=DE
∠AEB=∠CED
∴Rt△AEB和Rt△DEC全等
∴AB=CD
（2）∵∠BAC=2∠MPC，
又∵∠BAC=2∠CAD，
∴∠MPC=∠CAD，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠MPC=∠CDA，
∴∠MPF=∠CDM，
∵AC=AB，AE⊥BC，
∴CE=BE
∴AM为BC的中垂线，
∴CM=BM．
∵EM⊥BC，
∴EM平分∠CMB
∴∠CME=∠BME
∵∠BME=∠PMF，
∴∠PMF=∠CME，
∴∠MCD=∠F．

Answer 4

(1)
∵点D与点A关于点E对称
∴AE=ED 又∵CE⊥AD
∴△ACD为等腰三角形
∴AC=CD
又∵AF平分∠BAC,AE⊥BC
∴AB=AC
∴AB=CD

(2)
∵∠BAC=2∠MPC，
又∵∠BAC=2∠CAD，
∴∠MPC=∠CAD，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠MPC=∠CDA，
∴∠MPF=∠CDM，
∵AC=AB，AE⊥BC，
∴CE=BE，
∴AM为BC的中垂线，
∴CM=BM．
∵EM⊥BC，
∴EM平分∠CMB．
∴∠CME=∠BME，
∵∠BME=∠PMF，
∴∠PMF=∠CME，
∴∠MCD=∠F．

Answer 5

（1）证明：
∵点A与点D关于点E对称
∴AE=ED
∵AF为∠BAC的角平分线
∴CE=BE
∵在△AEC和△DEC中
AE=DE
∠AEB=∠DEC
CE=BE
∴△AEC≌△DEC（SAS）
∴AB=CD
（2）连结BF
∵AF为∠BAC的角平分线
∴CE=BE
∵BC⊥AF
∴∠CEF=∠BEF
∵在△CEF和△BEF中
CE=BE
∠CEF=∠BEF
EF=EF
∴△CEF≌△BEF（SAS）
∴∠ECF=∠EBF
∵CE⊥BE且CE=BE
∴CM=BM
∴∠MCE=∠MBE
∵∠ECF=∠EBF
∴∠MCP=∠MBF
∴∠F=∠MCD