Question

若直线y=x+m与曲线y=-√(x^2-4)有且只有一个公共点，则m的取值范围

用几何法解谢谢

Answer 1

解析：

由题意曲线y=-√(x²-4)可化为：x²-4=y²即x²+y²=4  (y≤0)

可知该曲线为圆心在原点，半径为2的圆在x轴下方部分的半圆（含（－2，0）、（2，0）两点）

而直线y=x+m的斜率k=1

则结合草图可知：

当m≤－2时，要使直线y=x+m与曲线y=-√(x²-4)有且只有一个公共点，须使得：

              直线与曲线即上述半圆相切，则有：

              圆心（0，0）到直线y=x+m即x-y+m=0的距离等于半径

              即|m|/√2=2，解得m=-2√2，符合题意；

当-2<m≤2时，显然直线y=x+m与曲线y=-√(x²-4)有且只有一个公共点；

当m>2时，直线与已知曲线无公共点；

所以m的取值范围是m=-2√2或-2<m≤2