Question

已知二次函数y=mx²+(m-3)x-3(m>0)

（1）假设这条抛物线与x轴交于两点A（x1,0）、B（x2,0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB=4，圆M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积S
（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点P，是△PBD（PD⊥x轴，垂足为D）被直线BC分为面积比为1：2的两部分？若存在，求出点P得坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1) y=mx²+(m-3)x-3 = 0, △=(m-3)² +12m = (m+3)²

x = [3-m ±(m+3)]/(2m)

x1 = -1, x2 = 3/m

AB=4, 3/m +1 = 4，m = 2

y = x² -2x -3

A(-1, 0), B(0, 3), C(0, -3)

抛物线的对称轴为x = (3-1)/2 = 1

显然M在对称轴上，设其坐标为M(1, a)

|MA|² = |MC|² 

(1+1)² + a² = 1 + (a+3)²

a = -1

M(1, -1)

圆半径为√5

MA 和MC的斜率分别为：

kMA = (-1 -0)/(1+1) = -1/2

kMC = (-1+3)/(1-0) = 2

kMA*kMC = -1

MA 和MC垂直。

扇形MAC的面积S为圆面积的1/4，S= π(√5)²/4 = 5π/4

(2)设P(p, p² -2p -3). 要使△PBD被直线BC分为面积比为1：2的两部分，只需线段PD被BC分为1:2两段(设交点为E)，因为底BD相同。

BC的方程为x/3 - y/3 = 1, y = x-3

E的纵坐标为p-3

第(i)种可能：DE：EP= 1:2

此时E的纵坐标为P纵坐标的1/3

3(p -3) = p² -2p -3

p = 2, p-3(p² -2p -3)

P(2，-3）

第(ii)种可能：DE：EP= 2:1

此时E的纵坐标为P纵坐标的2/3

p-3 = (2/3)(p² -2p -3)

p = 1/2, p = 3(与B重和，舍去)

P(1/2, -15/4)

Answer 2

二次函数y=mx^2+（m-3）x-3(m＞0)
x1+x2=(3-m)/m.......(x1+x2)^2=(9-6m+m^2)/m^2
x1*x2=-3/m

AB=x2-x1=4
(x2-x1)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=(9-6m+m^2)/m^2+12/m=16
9-6m+m^2+12m=16m^2
15m^2-6m-9=0
5m^2-2m-3=0
(5m+3)(m-1)=0
m1=1..........y=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)
m2=-3/5.......y=-3x^2/5-18x/5-3=-3/5*(x^2+6x+5)=-3/5*(x-1)(x-5)
C(0,-3)
A1(-1,0)
B1(3,0)
A2(1,0)
B2(5,0)

圆M1圆心(1,-1),半径√5
圆M2圆心(3,7/3),半径√85/3

面积自己求吧