Question

已知数列｛an｝为等差数列，bn=（3^a）n （1）求证数列｛bn｝为等比数列 （2）若a8+a13=m求b1*b2*...*b20

Answer 1

(1)b(n+1)/bn=3^a(n+1)/3^an=3^[a(n+1)-an]
∵﹛an﹜是等差数列∴[a(n+1)-an]=常数 即公差d
∴3^d也是常数 ∴﹛bn﹜为等比数列
(2)∵数列｛an｝为等差数列
∴a8+a13=a1+a20=a2+a19=……=m
∴b1*b2*...*b20=(b1*b20)*(b2*b19)*……*（b10*b11）
=3^(a1+a20)*3^(a2+a19)*……*3^(a10+a11)=(3^m)^10=3^（10m）
顺道推广一下：等差数列的指数为等比数列,即bn=c^(an),若an为等差,则bn为等比.(c为常数)
等比数列的对数为等差数列,即bn=logc(an),若an为等比,则bn为等差.(c为常数)

Answer 2

1）证明：设{an}数列的公差为d(常数)，所以bn+1/bn=3^(an+1)/3^an=3^(an+1-an)=3^d(为常数)，所以数列｛bn｝为等比数列
2）因为数列｛an｝为等差数列，所以a8+a13=a1+a20=a2+a19=……=m，所以b1*b2*...*b20=(b1*b20)*(b2*b19)*……*（b10*b11）=3^(a1+a20)*3^(a2+a19)*……*3^(a10+a11)=(3^m)^10=3^（10m）

Answer 3

上面做的是正确的