Question

设二阶常系数非齐次微分方程有三个特解如图，则其通解为。详细说？

Answer 1

Answer 2

y2-y3 = e^x-e^(2x), y1-y2 = x^2-e^x, 线性无关
根据线性微分方程解的理论，它们都是对应齐次微分方程线性无关的解，
则非齐次线性微分方程的通解是
y = x^2 + C1[e^x-e^(2x)] + C2(x^2-e^x) , 选 A。

Answer 3

非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解
齐次方程的通解需要两个线性无关的特解
y1、y2、y3即非齐次方程三个特解，代入方程，有三条等式
作差可以得到齐次方程的两个特解即y1-y2、y2-y3
（任意两个特解作差皆满足，这里只需要符合选项的两个即可）
（证明线性无关：
a1(y1-y2)+a2(y2-y3)=0
即 a1y1+(a2-a1)y2-a2y3=0
a1=a2=a2-a1=0
故线性无关 ）
即 y=C1(y1-y2) + C2(y2 - y3) 是齐次方程的通解
该方程为非齐次方程，所以要加上一个非齐次方程的一个特解，y1、y2、y3都是（题目给出）
即 y = y1(或y2或y3）+ C1(y1-y2) + C2(y2- y3)

Answer 4