Question

高等代数证明题

设A是n阶方阵，E是n阶单位阵，且A-2009E,A-2010E,A-2011E的秩之和为2n，即rank(A-2009E)+rank(A-2010E)+rank(A-2011E)=2n,证明：A可对角化。请尽可能给出进一步推广的结论。

Answer 1

只需要证A有n个线性无关的特征向量，根据高代的知识，不同特征值对应的特征向量是线性无关的，所以只需要不同特征值对应的特征向量的和为n。
如果2009为特征值，对应的一组线性无关的特征向量的个数 等于（A-2009E)X=0的解空间的维数，即为n-rank(A-2009E);
对于2010,2011同理，所以以2009,2010,2011为特征值的特征向量的个数之和为3n-rank(A-2009E)-rank(A-2010E)-rank(A-2011E)=n，因此可以对角化。需要注意的是，即使其中某个数不是特征值，也不影响结果，因为相当于看作了解空间为空的“特征值”。
推广的话，rank(A-k1E)+rank(A-k2E)+....+rank(A-kmE)=(m-1)n的话，利用相似的方法可以证明可对角化。

Answer 2

A可矩阵化