Question

高等代数题

Answer 1

先给出一个比较好证明的引理吧：
【引理：若A与B均为数域F上的m×n矩阵，且A与B的秩相等（即r(A)=r(B)），
则存在可逆矩阵P，使B=PA。】它的证明如下：
证：因为r(A)=r，所以A可经过满秩的初等行变换化为矩阵C：
Er 0
0 0
其中Er为r阶单位阵。
由于每次初等行变换相当于对A左乘一个出等矩阵Pi，假设经历了s步变换，则Ps...P2P1A=C；
同理B可经满秩的初等列变换化为C，每次列变换相当于左乘初等矩阵Qj，假设经历了t步变换，则Qt...Q2Q1B=C。
即Qt...Q2Q1B=C=Ps...P2P1A。
由于出等矩阵均为可逆矩阵，因此对上式左右两端同时左乘Q1^(-1)Q2^(-1)...Qt^(-1)得：
B=Q1^(-1)Q2^(-1)...Qt^(-1)Ps...P2P1A=PA，其中，P=Q1^(-1)Q2^(-1)...Qt^(-1)Ps...P2P1。
引理得证。
应用这个引理，我们来证你给出的问题。

证明：
（i）必要性：
若AX=0与BX=0同解，即AX=0的解均为BX=0的解，BX=0的解也全是AX=0的解。
不妨设r(A)=r，r(B)=s；则齐次方程组AX=0的基础解系中有n-r个解向量，其次方程组BX=0的基础解系中有n-s个解向量。
由于AX=0的解均为BX=0的解，故后者基础解系中的解向量不少于前者，即n-s≥n-r，即s≤r。
同理，r≤s也成立，故r=s。
故由引理，存在可逆矩阵P，使B=PA。必要性得证。
（ii）充分性：
若存在可逆矩阵P，使得B=PA，
则对任意BX=0的解X，有PAX=0,。
因为P可逆，故PAX=0等式两端同时左乘P的逆得AX=0.
故BX=0的解都是AX=0的解；
又对任意AX=0的解X，将AX=0等式两端左乘P得到：PAX=BX=0，
所以AX=0的解也都是BX=0的解。
故AX=0与BX=0同解，充分性得证。
原命题证毕！

望采纳，不懂可以追问，以后有难题就问我，我爱数学！