Question

已知圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0相切的直线l交x，y的正半轴与A,B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b

(a＞2，b＞2）（1）求线段AB中点的轨迹方程（2）求ab的最小值

Answer 1

圆心为x=1，y=1，与圆相切的有2条切线，本题应该为离原点远的那个，A B点,为，根号下6+4倍跟号2，AB中点的轨迹方程为x=y，ab最小值为跟号下2倍（3——2倍根号2）

Answer 2

(解:①圆C:x^+y^-2x-2y+1=0化为标准方程:(x-1)^+(y-1)^=1
圆心C(1,1),半径r=1.
设A(a,0),B(0,b)
直线AB:x/a+y/b=1即bx+ay-ab=0
圆心C(1,1)到直线AB的距离等于半径r=1.
|b+a-ab|/√(a^+b^)=1
|b+a-ab|^=(a^+b^)
(b+a)^-2ab(b+a)+a^b^=a^+b^
2ab-2ab(b+a)+a^b^=0
∵ab≠0∴2-2(b+a)+ab=0
∴(a-2)b-2a+4=2∴(a-2)(b-2)=2
②设线段AB中点(x,y)
x=(a+0)/2,y=(0+b)/2
∴a=2x,b=2y代入∴(a-2)(b-2)=2中得:
∴(2x-2)(2y-2)=2
∴(x-1)(y-1)=1/2[注:x＞1,y＞1]
③设a-2=m＞0,b-2=n＞0且mn=2
∴三角形AOB的面积S=(1/2)ab=(1/2)(m+2)(n+2)=(1/2)[mn+2m+2n+4]
≥(1/2)[mn+2√(2m×2n)+4]=(1/2)[2+2√(2×2×2)+4]=3+2√2