Question

为什么说，只要存在一个跳跃间断点，原函数就不存在？

看了网上可多关于这个问题，都找不到答案，都是在说这个是个定理，然后无限套娃，感觉像再说因为它是它，所以它是它。我就是特别不理解，如果函数是分段函数，那它的原函数也还是分段函数不行嘛，略过这个跳跃间断点，就像我这个图，为啥我F(x)不能说是f(x)的原函数呢？

Answer 1

原命题:f(x)在[a,b]上有跳跃间断点x0属于(a,b)，则f(x)在[a,b]上一定不存在原函数
1)在x0处有没有定义都可以叫跳跃间断点，f(x)在闭区间[a,b]上有跳跃间断点，说明此间断点应是在x0处有定义的跳跃间断点。
2)f(x0)要存在(你的分段函数x=0处要有一个值)。若f(x0)不存在即f(x)在x0处无定义，则不能说x0属于(a,b)
3)若求出了一个'原函数'，该'原函数'在间断点x0处的导数是不存在的，而f(x0)是存在的
即无法找到f(x)的原函数F(x)使得F(x)导=f(x)
个人见解

Answer 2

存在间断点即意味该函数是不连续的，不连续就无法积分，因而就没有原函数

追问

我就是怕你这样定理套娃啊，而且，不连续还可能有定积分，并不是无法积分。

Answer 3

打个比方，你去外国某地，
但是你家旁边不是机场。
你可能打的，或者坐机场大巴，
先到机场，然后坐航班，
假设不需要中转，直飞到该国某机场，再打的或者有人接，最后到目的地。
这个过程，有国内坐车，有坐飞机，有国外乘车。
能不能说你是坐国内到该国？
能不能说你是从家里直接飞往该国？
能不能说你是国外车从家里接你到该国？
用数学的类比来说，
X>2和X≥2，是两回事！

追问

emmmmm，也就是说，分段函数和正常的函数是两回事，原函数只是说侠义的函数，不包括分段函数，是这个意思吗。

追答

不是，应该说是函数包括了分段函数，连续函数，或者说，定义域是分段不是。
一个题目，可能会说“在定义域R上是连续”，也可能是分段表示，比如说，带分式分母有未知数的，带绝对值的等等。。。

原函数，就好比出门坐车，到机场了，就不需要坐了，要改乘飞机。
坐车打的，一公里比如说是3块钱，坐飞机不可能也是3块吧！所以，计费方式不能用打的的计算了。
从家里到机场，适用计程车计费，到机场后，不适用了。就像这个原函数一样，出了这个原函数的定义域边界，肯定就不适用这个原函数。
其实就是定义域的限定。

追问

谢谢，有点明白了

Answer 4

被积函数虽然可积，但是不能表示变上限积分函数是否可导，除非被积函数连续，即： f(x) 连续，那么积分必定可导。如果不连续，积分一定不可导。

但是只要被积函数可积，则变上限积分函数必定连续。
可积比原函数存在需要的条件少一些。