Question

直角坐标系转化成极坐标系时，上下限是怎么转换的。

（1）用直角坐标表示时：∫∫D x/y dxdy （D是区间范围）D：x²+y²=y与x=0 所围成的位于第一象限的区域，转化成极坐标时，上下限怎么转换的。 答案：上下限分别为 0≤ρ≤sinθ 0≤θ≤π /2
（2））∫∫D √（4-x²-y²）dxdy D：√2x-x²与y=0所围区域 答案：转换成极坐标后上下限0≤ρ≤2cosθ 0≤θ≤π /2
详细解答 区间是怎么转化的 谢谢！

Answer 1

你好~~

（1）x²+y²=y即x²+y²-y+1/4=1/4，

x²+(y-1/2)²=(1/2)²，表示以(0，1/2)为圆心，以1/2为半径的圆，如图，粉色是D的范围，

积分区域是第一象限，那么由于x轴对应θ=0，y轴对应θ=π/2，所以θ的范围是[0，π/2]，

令x=rcosθ，y=rsinθ，带入原方程得

r²cosθ²+r²sinθ²=rsinθ

r²=rsinθ

r=sinθ

即ρ(θ)=sinθ

ρ的下限是0，上限是ρ(θ)，这是定义，

∴ρ的积分区间是[0,sinθ]，θ的积分区间是[0，π/2]。

（2）√2x-x²与y=0所围区域在第1象限，

∵y=√2x-x²即y²+(x-1)²=1，y≥0是以点(1,0)为圆心，以1为半径的圆的上半部分

它与y=0围成的区间是一个半圆，

∴θ的范围同（1），也是[0，π/2]，

那么令x=rcosθ，y=rsinθ，

x²+y²=2x，即r²cosθ²+r²sinθ²=2rcosθ，

即r²=2rcosθ，即r=2cosθ，

ρ的下限是0，上限是ρ(θ)，

∴ρ的积分区间是[0,2cosθ]，θ的积分区间是[0，π/2]。

希望能帮到你~~~~~ 如果还有什么问题可以hi我或者QQ~~

Answer 2

直接转换就OK了
1楼正解！