Question

高三数学题：求函数的单调区间和取值范围。(急！急！急！)

已知：函数f(x)=X^3+aX^2+X+1,a属于R，
（1）讨论函数f(x)的单调区间；
（2）设函数在区间（-2/3，-1/3）内是减函数，求a的取值范围。
先谢谢各位高手的帮助。

Answer 1

1.
f(x)=x^3+ax^2+x+1,f'(x)=3x^2+2ax+1
当4a^2-12≤0,即-√3≤a≤√3时,f'(x)＞0恒成立,
f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.
当4a^2-12>0,即a≤-√3或a≥√3时,f'(x)=0有两实数解,
记x1=[-a-√(a^2-3)]/3,x2=[-a+√(a^2-3)]/3,
f(x)在(-∞,x1)内单调递增,在[x1,x2)内单调递减,在[x2,+∞)内单调递增.

2.
因为f(x)在区间(-2/3，-1/3)内是减函数
所以f'(x)=3x^2+2ax+1≤0
所以f'(-2/3)<0,f'(-1/3)≤0
所以a≥2

【另法】
f(x)在区间(-2/3,-1/3)内递减,在此区间内,f'(x)<0,
此区间包含在[x1,x2]内,
x1=[-a-√(a^2-3)]/3≤-2/3,且x2=[-a+√(a^2-3)]/3≥-1/3,
解得a≥7/4且a≥2,即a≥2
a的取值范围[2,+∞).

追问

不好意思，我没看懂。为什么要设 f'(x)=3x^2+2ax+1 ，这个式子求出的根适合原式吗，你可以解的详细点吗？
谢谢！

Answer 2

1.导数求很好解决
2.你给的区间是 导数小于等于0求出的区间 的子集