Question

已知定义域为R的单调函数f（x）是奇函数，当x>0时，f=x/3-2^x

1)求f(x)的解析式.
(2)若对任意t∈R，不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)＜0恒成立，求实数k的取值范围.
主要是第二部，求详细过程，网上有个是错的

Answer 1

正解：
1)当x<0时，-x>0，f(-x)= (-x)/3 - 2^(-x)
所以f(-x)=(-x)/3 - 2^(-x) =-f(x)
所以 f(x)=x/3+2^(-x)

x/3-2^x x>0
f(x)= 0 x=0
x/3+2^(-x) x<0
2）因为f(1)=-5/3<f(0)=0且f(x)在R上单调
所以f(x)在R上单调递减
已知不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)＜0恒成立，
即 f(t^2-2t) ＜ -f(2t^2-k)
因为f(x)为奇函数，所以f(t^2-2t) ＜ f(-2t^2+k)
又因为f(x)为R的单调递减函数，所以有t^2-2t > k-2t^2
即 3t^2-2t-k>0 恒成立，
所以△=4+12k<0，解得 k< -1/3

说明：本题无法直接用定义法来证明f(x)的单调性，如果想用证明的方法就得用导数来证明，但导数是高二下学期或高三才学，所以高一的学生无法直接证明f(x)的单调性。所以，本题题目里就直接告诉你是“在R上单调”，要用此条件来解决其单调性的问题。

Answer 2

(1)
1°f（x）是奇函数,f（0）=0
2°设x<0，则-x>0，f（-x）=-x/3-2^-x=-f（x），所以f（x）=x/3+2^-x
最后写成分段函数即可。
(2)f(t^2-2t)+f(2t^2-k)＜0，即f(t^2-2t)＜-f(2t^2-k)，f(t^2-2t)＜f(-2t^2+k)，可以判定函数单调递减。所以t^2-2t>-2t^2+k，即k<3t^2-2t，而3t^2-2t得最小值是-1/3,故k<-1/3。