Question

设函数f（x）对任意x，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-1 （1）求证：f（x）是奇

设函数f（x）对任意x，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-1 （1）求证：f（x）是奇函数
（2）判断f（x）的单调性并证明
（3）试问当-3≤x≤3时f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有说出理由。

Answer 1

1）证明：令x=y=0带入得f（0）=0，令y=-x带入有f（0）=f（x）+f（-x）=0即f（x）=-f（-x）又x为实数定义域关于原点对称故f（x）是奇函数
2）设0<x1<x2则x2-x1>0;令x=x2，y=-x1则有f（x+y）=f（x2-x1）=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)又知x＞0时f（x）＜0则有f（x2-x1）=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0即函数在x>0上单调递减，由奇函数在定义区间有唯一单调性故知函数f（x）在整个定义域内单调递减
3）有最值。易知函数在x=-3处取得最大值，在x=3处取得最小值令x=y=1则有f（2）=2f（1）=-2；再令x=2，y=1则有f（3）=f（2）+f（1）=-3；由函数为奇函数易得f（-3）=-f（3）=3综上所述函数最大值为3，最小值为-3

Answer 2

解：
(1)令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),故为奇函数
(2)设x1>x2,f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),当x>0时f(x)<0,故f(x1)<f(x2),故单调递减
(3)单调递减，故当-3≤x≤3时，f(x)min=f(3),f(x)max=f(-3)
f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-3,f(-3)=-f(3)=3,故最大值为3，最小值为-3.

Answer 3

dsadas