Question

设函数f(x)=x+a/(x+1)，x∈[0,+∞) （1）当a=2时，求函数f(x)的最小值 （2）当0＜a＜1时，试判断函数f(x)

设函数f(x)=x+a/(x+1)，x∈[0,+∞) （1）当a=2时，求函数f(x)的最小值 （2）当0＜a＜1时，试判断函数f(x)的单调性，并证明

Answer 1

(1)当a=2时，利用不等式性质求最小值：f(x)=x+2/(x+1)=(x+1)+2/(x+1) ≥2√2 ，当且仅当(x+1)=2/(x+1) 时取等号。 即当x=√2时，f(x)有最小值2√2。
(2)在定义域[0,+∞) 上任取两数x1和x2，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=[x1+a/(x1+1)]-[x2+a/(x2+1)]
=(x1-x2)[1-a/(x1+1)(x2+1)]=(x1-x2)[(x1+1)(x2+1)-a]/(x1+1)(x2+1)
因为0≤x1<x2，所以x1+1>1, x2+1>1, (x1+1)(x2+1)>1>a, x1-x2<0, 即(x1-x2)[(x1+1)(x2+1)-a]/(x1+1)(x2+1)＜0，所以f(x1)<f(x2)，所以当0＜a＜1时，函数f(x)在[0,+∞) 上是单调递增的。

Answer 2

1）当a=2时函数为f(x)=x+2/(x+1)，设0《x1<x2；则f（x1）-f（x2）=x1-x2+2/x1+1-2/x2+1=(x1-x2)(1-2/(x1+1)(x2+1));现在讨论1-2/(x1+1)(x2+1)的大小关系令x1=x2=x且令其为0得x=根号2-1当x》根号2-1易知f（x1）-f（x2）<0故函数单调递增，当0<x<跟号2-1时f（x1）-f（x2）>0函数单调递减易知函数在x=根号2-1处取得最小值f（根号2-1）=2根号2-1
2）单调递增。当0＜a＜1时设0《x1<x2；则f（x1）-f（x2）=x1-x2+a/x1+1-a/x2+1=(x1-x2)(1-a/(x1+1)(x2+1))易知x1+1>1,x2+1>1故(x1+1)(x2+1)>1所以1-a/(x1+1)(x2+1)>o即f（x1）-f（x2）<0故函数单调递增。

Answer 3

（1）
f(x)+1=(x+1)+a/(x+1)
因为x≥0，a＞0，所以可以利用均值不等式
(x+1)+a/(x+1)≥2×根号下[(x+1)·a/(x+1)]=2根号a=2根号2
即f(x)+1≥2根号2
f(x)≥2根号2-1
（2）
根据函数单调性的定义
在[0,+∞)中任取x1>x2
f(x1)-f(x2)=x1+a/(x1+1)-[x2+a/(x2+1)]
=(x1-x2)[1-a/(x1+1)(x2+1)]
因为(x1+1)(x2+1)>1；0<a<1
所以a/(x1+1)(x2+1)<1
1-a/(x1+1)(x2+1)>0——#
因为x1>x2
所以(x1-x2)>0——*
由#、*可得
(x1-x2)[1-a/(x1+1)(x2+1)>0
即f(x1)-f(x2)>0
f(x1)>f(x2)
又因为x1>x2
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增

Answer 4

现在不会