Question

高三数学题：求函数的单调区间和取值范围。(急！急！急！)

已知：函数f(x)=X^3+aX^2+X+1,a属于R，
（1）讨论函数f(x)的单调区间；
（2）设函数在区间（-2/3，-1/3）内是减函数，求a的取值范围。
先谢谢各位高手的帮助。

Answer 1

解：求导y'=3x^2+2ax+1，令y'=0，得3x^2+2ax+1=0，判别式Δ=(2a)^2-4*3*1=4a^2-12，根x1=(-2a-√Δ)/6,x2=(-2a+√Δ)/6。当Δ≤0,即4a^2-12≤0,也即-√3≤a≤√3时，y'>0对于x属于R恒成立，所以y在R上均为增函数。当Δ>0，即a<-√3或a>√3时，x1和x2是实根，y的单调增区间是(-∞,x1]∪[x2,+∞)，减区间是[x1,x2].
若y在区间(-2/3,1/3)内是减函数，说明x1≤-2/3<-1/3≤x2，把x1和x2的具体式子代入同时注意a<-√3或a>√3最终解得：a≥2.

追问

你好，谢谢你的回答，不用导数可以解吗，还有为什么要设y'=3x^2+2ax+1，而不是其他的呢？
谢谢！

追答

对于2次方以上的函数，求其单调性，通常都用求导数的方法。
不是设y'，就是让你求哪个函数的单调区间，你就先就他的导数！`

Answer 2

函数f(x)=X^3+aX^2+X+1,a属于R，
先对函数f(x)=X^3+aX^2+X+1求导
f'(x)=3x^2+2ax+1
那么令f'(x)=3x^2+2ax+1<0 则Δ＞0 （2a）^2-4*3＞0 则 a＜-√3或a＞√3
令f'(x)=3x^2+2ax+1＞0 则Δ＜0 （2a）^2-4*3＜0 则 -√3＜a＜√3
所以x＜[-a-√(a^2-3)]/3,x＞[-a+√(a^2-3)]/3,则f'(x)＞0
此时是增函数
[-a-√(a^2-3)]/3＜x＜[-a+√(a^2-3)]/3,f'(x)＜0
此时是减函数
（[-a-√(a^2-3)]/3 [-a+√(a^2-3)]/3是令f'(x)=0解出来的，用求根公式）

（2）因为f(x)在区间(-2/3，-1/3)内是减函数
所以f'(x)=3x^2+2ax+1＜0
所以f'(-2/3)<0,f'(-1/3)＜0
所以a＞2

楼上是复制的···

追问

哦，不求导可以做吗？我们没教过求导。
谢谢！

追答

那就比较麻烦了，只能用画图，还必须要很精确。你是几年级啊

追问

高三，我们不允许用导数，你能想想其他的解法吗？实在不行你能画一下吗？
谢谢了！

追答

好吧，高三应该学过了吖，不然这么高考····我想一想，想好传上来，说一句，导数是必须学的，高考题有好多是用导数的呢
好吧 我失败了，a不确定下来我用软件也画不出来，我上网特意搜了一下，貌似都只能用导数做，要是不行，回学校看你老师怎么做吧●﹏●。