Question

高三数学题：求函数的单调区间和取值范围。(急！急！急！)

已知：函数f(x)=X^3+aX^2+X+1,a属于R，
（1）讨论函数f(x)的单调区间；
（2）设函数在区间（-2/3，-1/3）内是减函数，求a的取值范围。
请不要用导数求解。
谢谢！

Answer 1

其实这道题用导数解和用定义解是没多大差别的。解设x1<x2则f（x1）-f（x2）=x1^3-x2^3+a(x1^2-x2^2)+x1-x2=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2+a(x1+x2)+1)下面讨论x1^2+x1x2+x2^2+a(x1+x2)+1的大小令x1=x2=x且令该整式等于0则有3x^2+2ax+1=0;delta=4a^2-12；（1）若方程有实根，delta》0解得a》根号3或a《-根号3此时方程根为x=（-a+根号a^2-3）/3或x=（-a-根号a^2-3）/3则若3x^2+2ax+1>0即x在【(-a+根号a^2-3)/3，正无穷大）和由（负无穷大，(-a-根号a^2-3)/3】区间此时f（x1）-f（x2）<0故函数在上述区间单调递增，若3x^2+2ax+1<0即x在（(-a-根号a^2-3)/3，(-a+根号a^2-3)/3）区间此时f（x1）-f（x2）>0故函数在上述区间单调递减（2）若方程无实根，delta=4a^2-12<0解得a属于（-根号3，根号3）即方程大于零恒成立此时f（x1）-f（x2）<0故函数在实数R上恒为单调递增函数
综上所述：当a属于（负无穷大，-根号3】和【根号3，正无穷大）时，x在【(-a+根号a^2-3)/3，正无穷大）和（负无穷大，(-a-根号a^2-3)/3】函数单调递增；x在（(-a-根号a^2-3)/3，(-a+根号a^2-3)/3）函数单调递减；当a属于（-根号3，根号3）函数在实数R上单调递增。
2）由1）易知x在（(-a-根号a^2-3)/3，(-a+根号a^2-3)/3）函数单调递减（当a属于（负无穷大，-根号3】和【根号3，正无穷大））若使函数在（-2/3，-1/3）内是减函数则只需：(-a-根号a^2-3)/3《-2/3，(-a+根号a^2-3)/3》-1/3即可解得a》2

Answer 2

f(x)=x^3+ax^2+x+1开口向上，对称轴x=-a/2
在区间（-∞,-a/2）单调减
在区间（-a/2，+∞)单调增

在区间（-2/3，-1/3）是减函数
∴-a/2≥-1/3
a/2≤1/3
a≤2/3